Em cada caso, esboce a região
e calcule a integral dupla
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região D definida por
e
. A função que vamos integrar é
. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e escolher a ordem de integração que facilite nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região D onde vamos integrar. Temos
e
. Isso significa que para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de
até 2.
Passo 3
Vamos esboçar a região D para visualizar melhor. No gráfico, o eixo x vai de 0 a 1. A fronteira inferior de y é a linha
, que passa pelos pontos (0,0) e (1,2). A fronteira superior é a linha horizontal
. Assim, a região D fica entre essas duas linhas, de x = 0 a x = 1.
Passo 4
Agora, vamos escolher a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em y e depois em x, ou primeiro em x e depois em y. Vamos ver qual fica mais fácil. Como a função
não tem uma antiderivada simples em termos de funções elementares, vamos preferir integrar em x primeiro, pois isso simplifica a integração.
Passo 5
Então, vamos reescrever a integral dupla com a ordem de integração dx dy. Para isso, precisamos ajustar os limites de integração. Para um dado y, x varia de 0 até
, já que
implica
. E y varia de 0 a 2. Assim, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
Como
é constante em relação a x, podemos simplificar a integração:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos simplificar a constante:
Passo 8
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Passo 9
Agora, integramos
em relação a u:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
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Determine
nos exercícios 1-10.
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