Em cada caso, esboce a região D e calcule a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d A
Escolha a ordem de integração de modo a tornar o cálculo mais simples.
D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1 e 2 x <= y <= 2 ; f=exp (y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região D definida por e . A função que vamos integrar é . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e escolher a ordem de integração que facilite nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D onde vamos integrar. Temos e . Isso significa que para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de até 2.

Passo 3

Vamos esboçar a região D para visualizar melhor. No gráfico, o eixo x vai de 0 a 1. A fronteira inferior de y é a linha , que passa pelos pontos (0,0) e (1,2). A fronteira superior é a linha horizontal . Assim, a região D fica entre essas duas linhas, de x = 0 a x = 1.

Passo 4

Agora, vamos escolher a ordem de integração. Podemos integrar primeiro em y e depois em x, ou primeiro em x e depois em y. Vamos ver qual fica mais fácil. Como a função não tem uma antiderivada simples em termos de funções elementares, vamos preferir integrar em x primeiro, pois isso simplifica a integração.

Passo 5

Então, vamos reescrever a integral dupla com a ordem de integração dx dy. Para isso, precisamos ajustar os limites de integração. Para um dado y, x varia de 0 até integral0^2 integral0^y2 e^y^2 , dx , dy , já que implica . E y varia de 0 a 2. Assim, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^y2 e^y^2 , dx
Como e^y^2 integral0^y2 dx = e^y^2 [ x ]0^y2 = e^y^2 ( y2 - 0 ) = y2 e^y^2 é constante em relação a x, podemos simplificar a integração:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2 y2 e^y^2 , dy
Vamos simplificar a constante:
12 integral0^2 y e^y^2 , dy

Passo 8

Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Vamos deixar 12 integralu=0^u=4 e^u2 , du = 14 integral0^4 e^u , du , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 9

Agora, integramos 14 [ e^u ]0^4 = 14 (e^4 - e^0) = 14 (e^4 - 1) em relação a u:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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