Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
(b) integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2(x+y) d y d x

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Estamos enfrentando um exercício de cálculo que envolve o cálculo de uma integral dupla. O enunciado nos pede para esboçar a região de integração e calcular a integral:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2(x+y) , dy , dx
Conteúdo da Matéria:
  • Integral Dupla: Usada para calcular volumes ou áreas sobre regiões bidimensionais.
  • Região de Integração: Neste caso, os limites indicam que estamos integrando sobre um círculo de raio .
  • Propriedades de Funções Ímpares e Pares: Importante para simplificar integrais.
Para resolver este exercício, precisaremos entender como dividir a integral dupla em integrais simples e usar propriedades de simetria de funções.

Passo 2

Entendendo a Região de Integração
Os limites de integração para são de a , o que descreve a parte superior e inferior de um círculo centrado na origem com raio . Portanto, estamos integrando sobre toda a área desse círculo.
Visualização:
  • Eixo : De a .
  • Eixo : Para cada , varia de a .

Passo 3

Dividindo a Integral Dupla em Partes Simples
Vamos separar a integral em duas partes:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 x , dy , dx + integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 y , dy , dx
Explicação:
  • Primeira Parte ( ): Integra em relação a .
  • Segunda Parte ( ): Integra em relação a .

Passo 4

Calculando a Primeira Parte da Integral
Vamos calcular:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 x , dy , dx
Resolvendo a Integral Interna (em integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 x , dy = x [ y ]-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 = x ( raiza^2-x^2 - (-raiza^2-x^2) ) = 2x raiza^2-x^2 ):
Como 2 integral-a^a x raiza^2-x^2 , dx é constante em relação a 2 integral-a^a x raiza^2-x^2 , dx = 0 :
Agora, a Integral Externa:
Observação Importante:
A função é uma função ímpar porque . Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.
Portanto:

Passo 5

Calculando a Segunda Parte da Integral
Vamos calcular:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 y , dy , dx
Resolvendo a Integral Interna (em integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 y , dy = [ y^22 ]-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 = (raiza^2-x^2)^22 - (-raiza^2-x^2)^22 = 0 ):
Explicação:
Ambos os termos e ao quadrado resultam em , cancelando-se na subtração.
Portanto, a segunda parte da integral também é zero.

Resposta

A integral dada é igual a 0.

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