Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
(b)
(b)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Estamos enfrentando um exercício de cálculo que envolve o cálculo de uma integral dupla. O enunciado nos pede para esboçar a região de integração e calcular a integral:
Conteúdo da Matéria:
- Integral Dupla: Usada para calcular volumes ou áreas sobre regiões bidimensionais.
- Região de Integração: Neste caso, os limites indicam que estamos integrando sobre um círculo de raio
. - Propriedades de Funções Ímpares e Pares: Importante para simplificar integrais.
Para resolver este exercício, precisaremos entender como dividir a integral dupla em integrais simples e usar propriedades de simetria de funções.
Passo 2
Entendendo a Região de Integração
Os limites de integração para
são de
a
, o que descreve a parte superior e inferior de um círculo centrado na origem com raio
. Portanto, estamos integrando sobre toda a área desse círculo.
Visualização:
- Eixo
: De a . - Eixo
: Para cada , varia de a .
Passo 3
Dividindo a Integral Dupla em Partes Simples
Vamos separar a integral em duas partes:
Explicação:
- Primeira Parte (
): Integra em relação a . - Segunda Parte (
): Integra em relação a .
Passo 4
Calculando a Primeira Parte da Integral
Vamos calcular:
Resolvendo a Integral Interna (em
):
Como
é constante em relação a
:
Agora, a Integral Externa:
Observação Importante:
A função é uma função ímpar porque
. Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.
A função
Portanto:
Passo 5
Calculando a Segunda Parte da Integral
Vamos calcular:
Resolvendo a Integral Interna (em
):
Explicação:
Ambos os termos e
ao quadrado resultam em
, cancelando-se na subtração.
Ambos os termos
Portanto, a segunda parte da integral também é zero.
Resposta
A integral dada é igual a 0.