Calcular as integrais usando frações parciais:
integral x^2+1(x+2) x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Isso entra na matéria de frações parciais, que é uma técnica usada para quebrar expressões racionais em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar reconhecer os fatores do denominador e separar a fração original em partes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração x^2+1(x+2) x^2 = x^2+1x^2(x+2) separando os fatores do denominador:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. A ideia é expressar x^2+1x^2(x+2) = Ax + Bx^2 + Cx+2 como a soma de frações mais simples da forma , onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Então, escrevemos:

Passo 4

Para encontrar x^2 + 1 = A x (x+2) + B (x+2) + C x^2 , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:
x^2 + 1 = A x^2 + 2A x + B x + 2B + C x^2
Juntando os termos semelhantes:
x^2 + 1 = (A + C) x^2 + (2A + B) x + 2B

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  1. Para A + C = 1 :
2A + B = 0
  1. Para 2B = 1 :
  1. Para o termo constante:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De B = 12 , temos:
2A + 12 = 0 implies 2A = -12 implies A = -14
  1. Substituindo -14 + C = 1 implies C = 1 + 14 = 54 em :
  1. Agora, substituindo em :

Passo 8

Com os valores de x^2+1x^2(x+2) = -14x + 12x^2 + 54x+2 , x^2+1x^2(x+2) = -14x + 12x^2 + 54(x+2) e encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora que temos a expressão decomposed, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( -14x + 12x^2 + 54(x+2) ) dx
Vamos integrar cada parte:

Passo 10

Juntando todas as integrais e combinando as constantes de integração, temos:
-14 ln |x| - 12x + 54 ln |x+2| + C

Resposta

integral x^2+1(x+2) x^2 d x = -14 ln |x| - 12x + 54 ln |x+2| + C

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