Calcular as integrais usando frações parciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Isso entra na matéria de frações parciais, que é uma técnica usada para quebrar expressões racionais em frações mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar reconhecer os fatores do denominador e separar a fração original em partes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fração
separando os fatores do denominador:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. A ideia é expressar
como a soma de frações mais simples da forma
, onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Então, escrevemos:
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, expandimos e simplificamos o lado direito da equação:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Para o termo constante:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações:
- De
, temos:
- Substituindo
em :
- Agora, substituindo
em :
Passo 8
Com os valores de
,
e
encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Simplificando:
Passo 9
Agora que temos a expressão decomposed, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar cada parte:
Passo 10
Juntando todas as integrais e combinando as constantes de integração, temos: