Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas. r > 0, pi/4 <= theta <= 3pi/4

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos esboçar uma região no plano usando coordenadas polares. As condições dadas são que a distância do ponto até a origem, , é maior que zero ( ), e o ângulo está entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas polares e como elas definem uma região no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa em coordenadas polares. O representa a distância do ponto até a origem. Então, significa que estamos considerando todos os pontos que ficam a uma distância positiva da origem, ou seja, todos os pontos exceto a própria origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição . O representa o ângulo que o raio de posição faz com o eixo positivo do . Assim, estamos limitando os pontos a aqueles cujos ângulos estão entre ( radianos) e ( radianos). Isso define uma área que está entre duas linhas que partem da origem nesses ângulos.

Passo 4

Para esboçar a região, desenhe duas linhas partindo da origem: uma fazendo um ângulo de e outra fazendo . A região que queremos é toda a área entre essas duas linhas, se estendendo para fora indefinidamente, já que pode ser qualquer valor maior que zero.

Resposta

A região no plano é uma “fatia” do eixo polar que se estende a partir da origem entre os ângulos e , incluindo todos os pontos com dentro desses limites de .

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