Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! O que a gente tem aqui é o cálculo de uma integral dupla, que basicamente significa calcular a área sob uma superfície definida por
em duas regiões diferentes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como dividir a região de integração e aplicar as regras de integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira parte da integral:
. Aqui, estamos integrando
em relação a
de
até
, e depois em relação a
de
até
. Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até 0.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte:
. Aqui, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Basicamente, estamos cobrindo outra região onde
vai de 0 até uma linha que depende de
.
Passo 4
Para entender melhor, vamos esboçar a região de integração. No gráfico do plano
, para a primeira integral, a linha inferior de
é uma reta que passa por
e
. A segunda integral vai de
até
, que é uma reta que desce de
até
. Juntando essas duas regiões, cobrimos um quadrado de 0 a 1 em ambos os eixos, dividido em duas partes.
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos isso em relação a
:
Isso pode ser simplificado e calculado para obter o valor da primeira parte.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda integral:
. Integramos primeiro em relação a
:
Depois, integramos isso em relação a
:
Essa expressão também pode ser simplificada e calculada para obter o valor da segunda parte.
Resposta
Após calcular ambas as integrais, a soma dos resultados nos dá o valor final da integral dupla proposta. Portanto, a resposta final é: