Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
© integral0^1 integraly-1^0 e^x+y d x d y+integral0^1 integral0^1-y e^x+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! O que a gente tem aqui é o cálculo de uma integral dupla, que basicamente significa calcular a área sob uma superfície definida por em duas regiões diferentes. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como dividir a região de integração e aplicar as regras de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira parte da integral: . Aqui, estamos integrando em relação a de até , e depois em relação a de até . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, varia de até 0.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: . Aqui, para cada entre 0 e 1, varia de 0 até . Basicamente, estamos cobrindo outra região onde vai de 0 até uma linha que depende de .

Passo 4

Para entender melhor, vamos esboçar a região de integração. No gráfico do plano , para a primeira integral, a linha inferior de é uma reta que passa por e . A segunda integral vai de até , que é uma reta que desce de até . Juntando essas duas regiões, cobrimos um quadrado de 0 a 1 em ambos os eixos, dividido em duas partes.

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral: integraly-1^0 e^x+y , dx = e^y integraly-1^0 e^x , dx = e^y [ e^x ]y-1^0 = e^y (1 - e^y-1) . Primeiro, integramos em relação a integral0^1 e^y (1 - e^y-1) , dy :
Agora, integramos isso em relação a :
Isso pode ser simplificado e calculado para obter o valor da primeira parte.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda integral: integral0^1 - y e^x+y , dx = e^y integral0^1 - y e^x , dx = e^y [ e^x ]0^1 - y = e^y (e^1 - y - 1) . Integramos primeiro em relação a integral0^1 e^y (e^1 - y - 1) , dy :
Depois, integramos isso em relação a :
Essa expressão também pode ser simplificada e calculada para obter o valor da segunda parte.

Resposta

Após calcular ambas as integrais, a soma dos resultados nos dá o valor final da integral dupla proposta. Portanto, a resposta final é:
boxed2e - e^2 - 1

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