Calcular as integrais indefinidas por substituição: integral cos x cos (sen x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com integrais por substituição, que é uma técnica de cálculo que facilita a resolução de integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma função dentro da integral que possa ser substituída por uma variável mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída. Observamos que temos , que é uma função composta. Vamos escolher . Isso significa que cos(sen x) é uma função de u = sen x, e precisamos encontrar sua derivada para usar na substituição.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = cos x
Isso implica que du = cos x , dx. Notamos que cos x , dx está presente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.

Passo 4

Substituímos na integral original usando e u = sen x:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples em termos de u:
integral cos u , du
Sabemos que a integral de cos u em relação a u é , onde sen u + C é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos u de volta por para retornar à variável original:

Resposta

A integral indefinida é:

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