Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integralx^1 sen xy d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função sobre uma região no plano . Para resolver, precisamos entender como definir os limites de integração e aplicar as técnicas de integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Os limites são de 0 a 1 e de a 1. Isso significa que varia de uma linha onde até , para cada entre 0 e 1. A região é um triângulo retângulo no primeiro quadrante, com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna sin x integralx^1 1y , dy . Note que é constante em relação a , então podemos tirá-la de fora da integral:

Passo 4

A integral de sin x [ ln y ]x^1 = sin x (ln 1 - ln x) em relação a sin x (-ln x) = -sin x ln x é o logaritmo natural:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral0^1 -sin x ln x , dx = -integral0^1 sin x ln x , dx

Passo 6

Para resolver uv - integral v , du = -ln x cos x + integral cos xx , dx , usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral é conhecida como a função integral de Coseno, que não tem uma antiderivada elementar. No entanto, para de 0 a 1, podemos usar métodos numéricos ou tabelas para aproximar.

Passo 7

Após calcular a integral, consideramos os limites de 0 a 1. A parte - ( Função Integral de Coseno(1) - Função Integral de Coseno(0) ) avaliada de 0 a 1 resulta em 0 (pois -Função Integral de Coseno(1) e o limite quando se aproxima de 0 é manejável). Portanto, a integral final é:
çãçã
Conhecendo que çã, temos:
çã

Resposta

A integral dupla é igual a , onde é a função integral de Coseno.

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^2 integralx^2 e^-y^2 d y d x
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2(x+y) d y d x
Inverta a ordem de integração na integral integral0^1 integralraiz1-y^2^1-y f(x, y) d x d y.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 sen x^2 d x d y