Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que envolvem integrar uma função sobre uma região no plano
. Para resolver, precisamos entender como definir os limites de integração e aplicar as técnicas de integração iterada.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Os limites são
de 0 a 1 e
de
a 1. Isso significa que
varia de uma linha onde
até
, para cada
entre 0 e 1. A região é um triângulo retângulo no primeiro quadrante, com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna
. Note que
é constante em relação a
, então podemos tirá-la de fora da integral:
Passo 4
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Passo 6
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A integral
é conhecida como a função integral de Coseno, que não tem uma antiderivada elementar. No entanto, para
de 0 a 1, podemos usar métodos numéricos ou tabelas para aproximar.
Passo 7
Após calcular a integral, consideramos os limites de 0 a 1. A parte
avaliada de 0 a 1 resulta em 0 (pois
e o limite quando
se aproxima de 0 é manejável). Portanto, a integral final é:
Conhecendo que
, temos:
Resposta
A integral dupla
é igual a
, onde
é a função integral de Coseno.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Inverta a ordem de integração na integral
.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.