Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem calcular a área sob uma superfície definida por uma função, nesse caso,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original tem
variando de 0 a 2 e, para cada
,
varia de
a 2. Se desenharmos isso no plano
, teremos uma região triangular onde
e
.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em
de
a 2, vamos integrar primeiro em
. Observando a região, para um dado
,
varia de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, podemos tratá-la como uma constante:
Então, a integral dupla simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Inverta a ordem de integração na integral
.