Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^2 integralx^2 e^-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem calcular a área sob uma superfície definida por uma função, nesse caso, . Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original tem variando de 0 a 2 e, para cada , varia de a 2. Se desenharmos isso no plano , teremos uma região triangular onde e .

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em integraly=0^2 integralx=0^y e^-y^2 , dx , dy de a 2, vamos integrar primeiro em . Observando a região, para um dado , varia de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx=0^y e^-y^2 , dx = e^-y^2 cdot integral0^y dx = e^-y^2 cdot y . Como integral0^2 y cdot e^-y^2 , dy não depende de , podemos tratá-la como uma constante:
Então, a integral dupla simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral -12 integralu=0^-4 e^u , du = -12 [ e^u ]0^-4 = -12 ( e^-4 - e^0 ) = -12 (e^-4 - 1) = 12 (1 - e^-4) . Vamos usar uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2(x+y) d y d x
e^(-y/x)(sen(y/x)+cos(y/x))=ln(x^2)+c
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integralx^1 sen xy d y d x
Inverta a ordem de integração na integral integral0^1 integralraiz1-y^2^1-y f(x, y) d x d y.