Inverta a ordem de integração na integral
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá. O que você quer fazer é inverter a ordem de integração na integral dupla
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas e a mudança da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como reescrevê-los quando mudamos a ordem de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Os limites externos dizem que
varia de
a
. Para cada valor de
,
varia de
até
. Vamos entender essas duas funções:
-
é a equação de meia circunferência com raio 1, centrada na origem, no primeiro quadrante. -
é uma linha reta que corta os eixos em e .
Essas duas curvas se interceptam em algum ponto, e precisamos descobrir esse ponto para definir os novos limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto de interseção resolvendo
. Elevando ambos os lados ao quadrado:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então,
ou
. Isso significa que as duas curvas se interceptam nos pontos
e
.
Agora, para inverter a ordem, precisamos expressar
em termos de
. Olhando para a região, para cada
,
varia de
até a linha reta
ou a circunferência
, dependendo de
.
Passo 4
Observando as interseções, vemos que para
entre
e
, a curva que delimita
muda. Especificamente:
- Para
de a , varia de até . - Para
de a , varia de até .
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica dividida em duas partes:
Resposta
A ordem de integração invertida é
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
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Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro
e entre os planos
e
.