Inverta a ordem de integração na integral integral0^1 integralraiz1-y^2^1-y f(x, y) d x d y.

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O que você quer fazer é inverter a ordem de integração na integral dupla . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas e a mudança da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e como reescrevê-los quando mudamos a ordem de para .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Os limites externos dizem que varia de a . Para cada valor de , varia de até . Vamos entender essas duas funções:
  • é a equação de meia circunferência com raio 1, centrada na origem, no primeiro quadrante.
  • é uma linha reta que corta os eixos em e .
Essas duas curvas se interceptam em algum ponto, e precisamos descobrir esse ponto para definir os novos limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto de interseção resolvendo 1 - y^2 = (1 - y)^2 1 - y^2 = 1 - 2y + y^2 . Elevando ambos os lados ao quadrado:
0 = -2y + 2y^2
Subtraindo 0 = 2y(y - 1) de ambos os lados:
Fatorando:
Então, ou . Isso significa que as duas curvas se interceptam nos pontos e .
Agora, para inverter a ordem, precisamos expressar em termos de . Olhando para a região, para cada , varia de até a linha reta ou a circunferência , dependendo de .

Passo 4

Observando as interseções, vemos que para integral0^1raiz2 integral0^raiz1 - x^2 f(x, y) , dy , dx + integral1raiz2^1 integral0^1 - x f(x, y) , dy , dx entre e , a curva que delimita muda. Especificamente:
  • Para de a , varia de até .
  • Para de a , varia de até .
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica dividida em duas partes:

Resposta

A ordem de integração invertida é
integral0^1raiz2 integral0^raiz1 - x^2 f(x, y) , dy , dx + integral1raiz2^1 integral0^1 - x f(x, y) , dy , dx

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