Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular uma integral dupla, que é uma forma de somar valores em uma região específica do plano. O enunciado nos dá os limites de integração para
e
, e também pede para esboçar a região onde vamos integrar. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e um pouco de geometria para entender a região de integração, que nesse caso é um círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. Temos:
Isso descreve todos os pontos
que estão dentro de um círculo com raio
e centro na origem. O limite para
depende de
de tal forma que quando
varia de
a
,
varia formando a parte superior e inferior do círculo.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
Podemos separar essa integral em duas partes, porque a soma dentro da integral pode ser distribuída:
Passo 4
Vamos calcular a primeira integral:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirar
para fora da integral interna:
A integral interna de
é simplesmente a largura da região para cada
, que é
:
Agora, note que a função
é uma função ímpar em relação a
(ou seja,
). Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.
Portanto, a primeira integral é:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando os limites:
Então, a segunda integral também é zero.
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor
1 e pelos planos
e
.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.