Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2(x+y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa calcular uma integral dupla, que é uma forma de somar valores em uma região específica do plano. O enunciado nos dá os limites de integração para e , e também pede para esboçar a região onde vamos integrar. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e um pouco de geometria para entender a região de integração, que nesse caso é um círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. Temos:
x in [-a, a]
y in [-raiza^2-x^2, raiza^2-x^2]
Isso descreve todos os pontos que estão dentro de um círculo com raio e centro na origem. O limite para depende de de tal forma que quando varia de a , varia formando a parte superior e inferior do círculo.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla que precisamos calcular:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 (x + y) , dy , dx
Podemos separar essa integral em duas partes, porque a soma dentro da integral pode ser distribuída:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 x , dy , dx + integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 y , dy , dx

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 x , dy , dx
Aqui, integral-a^a x ( integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 dy ) dx é uma constante em relação a integral-a^a x cdot 2raiza^2-x^2 , dx , então podemos tirar 0 para fora da integral interna:
A integral interna de é simplesmente a largura da região para cada , que é :
Agora, note que a função é uma função ímpar em relação a (ou seja, ). Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.
Portanto, a primeira integral é:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integral-a^a integral-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 y , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral-a^a [ 12 y^2 ]-raiza^2-x^2^raiza^2-x^2 dx :
integral-a^a ( 12 (raiza^2-x^2)^2 - 12 (-raiza^2-x^2)^2 ) dx
Calculando os limites:
integral-a^a ( 12 (a^2-x^2) - 12 (a^2-x^2) ) dx = integral-a^a 0 , dx = 0
Então, a segunda integral também é zero.

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

e^(-y/x)(sen(y/x)+cos(y/x))=ln(x^2)+c
Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor x^2 + y^2 = 1 e pelos planos z = 0 e x + y + z = 3.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^2 integralx^2 e^-y^2 d y d x
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integralx^1 sen xy d y d x