Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla: . Aqui estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do cálculo multivariado. Vamos precisar entender a região de integração e como resolver a integral de .
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de até 1. Isso forma uma área triangular no plano , onde e ambos vão de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem de integração pra facilitar. Ao inverter, primeiro varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a . Então, a integral fica:
Isso é útil porque é só uma função de , então integrar em relação a primeiro é mais simples.
Passo 4
Vamos integrar em relação a primeiro. Como não depende de , a integral interna fica:
Então a integral dupla se reduz a:
Passo 5
Agora, vamos resolver 12 integral0^1 sen u , du . Aqui, a gente pode usar uma substituição:
Seja 12 (-cos u) |0^1 = 12 (-cos 1 + cos 0) = 12 (1 - cos 1) , então ou .