Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 sen x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral dupla: . Aqui estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do cálculo multivariado. Vamos precisar entender a região de integração e como resolver a integral de .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de até 1. Isso forma uma área triangular no plano , onde e ambos vão de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem de integração pra facilitar. Ao inverter, primeiro integral0^1 integral0^x sen x^2 , dy , dx varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a . Então, a integral fica:
Isso é útil porque é só uma função de , então integrar em relação a primeiro é mais simples.

Passo 4

Vamos integrar em relação a integral0^x sen x^2 , dy = sen x^2 cdot y |0^x = sen x^2 cdot x primeiro. Como integral0^1 x cdot sen x^2 , dx não depende de , a integral interna fica:
Então a integral dupla se reduz a:

Passo 5

Agora, vamos resolver 12 integral0^1 sen u , du . Aqui, a gente pode usar uma substituição:
  • Seja 12 (-cos u) |0^1 = 12 (-cos 1 + cos 0) = 12 (1 - cos 1) , então ou .
  • Quando , .
  • Quando , .
Substituindo, a integral fica:
Integrando , temos:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração na integral integral0^1 integralraiz1-y^2^1-y f(x, y) d x d y.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integralx^1 sen xy d y d x
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x^2 + y^2 = 9 e entre os planos z = 1 e x + z = 5.
Nos exercícios 9 - 12, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
z = e^(- (x^2 + y^2))
(0, 0, 1)