Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla
. Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é parte da matéria de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções com limites dependentes e talvez mudar a ordem de integração se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. As variáveis estão indo de
a
para
e de
a
para
. Isso significa que para cada valor de
,
varia de
até
. Vamos desenhar isso no plano
. No gráfico,
vai de
a
e para cada
,
começa em
e vai até
.
Passo 3
Agora, vamos observar a função que estamos integrando:
. Notamos que a expressão envolve uma raiz quadrada e uma função polinomial no
. Vamos integrar primeiro em relação a
, tratando
como constante.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna:
. Como
é constante em relação a
, podemos factorizar:
No entanto, a integral de
em termos de
não tem uma antiderivada elementar fácil, então vamos considerar mudar a ordem de integração.
Passo 5
Para mudar a ordem de integração, vamos reescrever os limites. Originalmente,
vai de
a
e
de
a
. Isso significa que
vai de
a
e para cada
,
vai de
a
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Para simplificar, podemos tirar o
de fora:
Passo 8
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
. Quando
,
; quando
,
.
Passo 9
Substituindo na integral:
Passo 10
Integrando
:
Passo 11
Calculando
e
:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Resolve as seguintes edo
Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
Resolve as seguintes edo
Utilizando integral dupla, calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.