Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^2 integralx^2 x raiz1+y^3 d y d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla . Isso envolve cálculo de integrais duplas, que é parte da matéria de Cálculo Multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções com limites dependentes e talvez mudar a ordem de integração se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As variáveis estão indo de a para e de a para . Isso significa que para cada valor de , varia de até . Vamos desenhar isso no plano . No gráfico, vai de a e para cada , começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos observar a função que estamos integrando: . Notamos que a expressão envolve uma raiz quadrada e uma função polinomial no . Vamos integrar primeiro em relação a , tratando como constante.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna: x integralx^2 raiz1+y^3 , dy . Como é constante em relação a , podemos factorizar:
No entanto, a integral de em termos de não tem uma antiderivada elementar fácil, então vamos considerar mudar a ordem de integração.

Passo 5

Para mudar a ordem de integração, vamos reescrever os limites. Originalmente, integral0^2 integral0^y x raiz1+y^3 , dx , dy vai de a e de a . Isso significa que vai de a e para cada , vai de a . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^y x raiz1+y^3 , dx = raiz1+y^3 integral0^y x , dx = raiz1+y^3 [ x^22 ]0^y = raiz1+y^3 cdot y^22 :

Passo 7

Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral0^2 y^22 raiz1+y^3 , dy
Para simplificar, podemos tirar o 12 integral0^2 y^2 raiz1+y^3 , dy de fora:

Passo 8

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , ou seja, . Quando , ; quando , .

Passo 9

Substituindo na integral:
12 integral1^9 raizu cdot du3 = 16 integral1^9 u^1/2 , du

Passo 10

Integrando 16 [ u^3/232 ]1^9 = 16 cdot 23 [ u^3/2 ]1^9 = 19 ( 9^3/2 - 1^3/2 ) :

Passo 11

Calculando 9^3/2 = (raiz9)^3 = 3^3 = 27 e 1^3/2 = 1 :
19 (27 - 1) = 19 cdot 26 = 269
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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