Resolve as seguintes edo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Isso está dentro do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão e torne a equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que podemos escrever:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
:
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Passo 5
Agora, essa equação é uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem na variável
. A forma padrão é:
Aqui, temos:
Para resolver, precisamos de um fator integrante, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aqui, encontramos uma integração que depende de
, que por sua vez é função de
. Isso torna a equação mais complexa para resolver explicitamente. Portanto, chegamos a uma solução implícita:
Ou, substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
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