Resolve as seguintes edo x y' - y - x sen(y/x) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Isso está dentro do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão e torne a equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que podemos escrever:
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por :
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:

Passo 5

Agora, essa equação é uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem na variável . A forma padrão é:
Aqui, temos:
Para resolver, precisamos de um fator integrante, que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Aqui, encontramos uma integração que depende de , que por sua vez é função de . Isso torna a equação mais complexa para resolver explicitamente. Portanto, chegamos a uma solução implícita:
Ou, substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração.

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^raizy x^2 y^2 d x d y
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^2 integralx^2 x raiz1+y^3 d y d x
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