Utilizando integral dupla, calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
usando integral dupla. Isso envolve entender de geometria analítica e cálculo integral. Precisamos identificar onde essas curvas se encontram e configurar a integral dupla corretamente para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
para ambas as curvas:
- Da equação
:
- Da equação
:
Aqui,
é uma reta e
é uma parábola voltada para baixo.
Passo 4
Para configurar a integral dupla, vamos notar que a área entre as curvas pode ser calculada integrando a diferença das funções de cima e de baixo em relação a
no intervalo de
a
.
Então, a área
é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos agora calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Multiplicando pela
:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Resolve as seguintes edo
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Defina os limites de integração para a integral
, sendo
a região do plano
limitada pelas curvas
e
.