Resolve as seguintes edo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve funções trigonométricas e derivadas de
em relação a
. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar métodos de substituição e integração, aplicando conceitos de cálculo diferencial.
Passo 2
Vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Seja
. Isso significa que
. Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Com
e
, a equação fica:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar a equação:
Percebemos que alguns termos se cancelam:
Passo 5
Isolamos
:
Essa é uma equação separável, onde podemos separar as variáveis
e
.
Passo 6
Reescrevemos a equação para separar as variáveis:
Agora, podemos integrar ambos os lados.
Passo 7
Integrando ambos os lados:
As integrais resultam em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde
é uma nova constante.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Resolve as seguintes edo
Utilizando integral dupla, calcule a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens: