e^(-y/x)(sen(y/x)+cos(y/x))=ln(x^2)+c

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A questão apresenta a seguinte equação:
O conteúdo envolvido aqui inclui funções exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver essa equação, vamos precisar usar substituições e propriedades das funções para simplificar e encontrar uma expressão para em termos de . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Essa substituição ajuda a tornar a equação mais manejável. Agora, vamos reescrever todos os termos em função de .

Passo 3

Substituindo na equação original, temos:
Lembre-se que pode ser simplificado usando a propriedade dos logaritmos que diz :
Então, nossa equação fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver para . Mas essa equação envolve tanto quanto , o que torna difícil isolar diretamente. Vamos tentar expressar em termos de usando técnicas de integração.
Primeiro, lembramos que se tivermos uma equação diferencial envolvendo e , podemos tentar separar as variáveis. Vamos ver se conseguimos isso aqui.

Passo 5

Para separar as variáveis, vamos olhar para . Queremos expressar em termos de .
Sabemos que:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta na nossa equação original. No entanto, a equação original não está explicitamente diferencial, mas podemos interpretá-la como tal para avançar.
Vamos reescrever a equação:
Para encontrar uma relação entre e , podemos integrar ambos os lados.

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Como , e é uma função de , precisamos expressar a integral em termos de e .

Passo 8

Vamos focar na integral do lado esquerdo:
Sabemos que , então . No entanto, para simplificar, assumimos que podemos tratar como uma constante durante a integração, o que nos leva a:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral do lado direito:
E:
Juntando tudo:
Onde é uma constante de integração geral.

Resposta

A solução final da equação é:
Onde é a constante de integração.

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