Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A questão apresenta a seguinte equação:
O conteúdo envolvido aqui inclui funções exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Para resolver essa equação, vamos precisar usar substituições e propriedades das funções para simplificar e encontrar uma expressão para
em termos de
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Essa substituição ajuda a tornar a equação mais manejável. Agora, vamos reescrever todos os termos em função de
.
Passo 3
Substituindo
na equação original, temos:
Lembre-se que
pode ser simplificado usando a propriedade dos logaritmos que diz
:
Então, nossa equação fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver para
. Mas essa equação envolve tanto
quanto
, o que torna difícil isolar
diretamente. Vamos tentar expressar
em termos de
usando técnicas de integração.
Primeiro, lembramos que se tivermos uma equação diferencial envolvendo
e
, podemos tentar separar as variáveis. Vamos ver se conseguimos isso aqui.
Passo 5
Para separar as variáveis, vamos olhar para
. Queremos expressar
em termos de
.
Sabemos que:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
de volta na nossa equação original. No entanto, a equação original não está explicitamente diferencial, mas podemos interpretá-la como tal para avançar.
Vamos reescrever a equação:
Para encontrar uma relação entre
e
, podemos integrar ambos os lados.
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Como
, e
é uma função de
, precisamos expressar a integral em termos de
e
.
Passo 8
Vamos focar na integral do lado esquerdo:
Sabemos que
, então
. No entanto, para simplificar, assumimos que podemos tratar
como uma constante durante a integração, o que nos leva a:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral do lado direito:
E:
Juntando tudo:
Onde
é uma constante de integração geral.
Resposta
A solução final da equação é:
Onde
é a constante de integração.
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Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor
1 e pelos planos
e
.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.