Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^2 integraly^2^4 raizx sen x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano e depois avaliar a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral é , o que significa que varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de até 4.

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração. No plano , temos:
  • vai de 0 a 2.
  • Para cada , vai de até 4.
Isso forma uma região onde a curva é a fronteira inferior e a linha é a fronteira superior, com variando entre 0 e 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é possível simplificar a integral trocando a ordem de integração. Às vezes, isso facilita os cálculos. Vamos reescrever os limites:
  • integral0^4 integral0^raizx raizx sin x , dy , dx varia de 0 a 4 (já que e vai até 2, então quando ).
  • Para cada , varia de 0 a .
Então, a integral pode ser reescrita como:

Passo 5

Vamos simplificar a integral interna. Como integral0^raizx raizx sin x , dy = raizx sin x cdot [ y ]0^raizx = raizx sin x cdot raizx = x sin x não depende de , podemos integrá-la em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^4 x sin x , dx
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções.

Passo 7

Vamos aplicar a integração por partes. Seja:
  • integral u , dv = uv - integral v , du integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C
A fórmula de integração por partes é:
Aplicando:

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 4:
[ -x cos x + sin x ]0^4 = ( -4 cos 4 + sin 4 ) - ( -0 cos 0 + sin 0 ) = -4 cos 4 + sin 4

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel P(x, y), quando o parâmetro t varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
x = 2 + 4 sen(t), y = 3 - 2 cos(t), 0 <= t <= 2 pi
Defina os limites de integração para a integral integral duplaD f(x, y) d A, sendo D a região do plano x y limitada pelas curvas y=0 e y=1-x^2.
Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor x^2 + y^2 = 1 e pelos planos z = 0 e x + y + z = 3.
e^(-y/x)(sen(y/x)+cos(y/x))=ln(x^2)+c