Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano
e depois avaliar a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral é
, o que significa que
varia de 0 a 2, e para cada valor de
,
varia de
até 4.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração. No plano
, temos:
-
vai de 0 a 2. - Para cada
, vai de até 4.
Isso forma uma região onde a curva
é a fronteira inferior e a linha
é a fronteira superior, com
variando entre 0 e 2.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é possível simplificar a integral trocando a ordem de integração. Às vezes, isso facilita os cálculos. Vamos reescrever os limites:
-
varia de 0 a 4 (já que e vai até 2, então quando ). - Para cada
, varia de 0 a .
Então, a integral pode ser reescrita como:
Passo 5
Vamos simplificar a integral interna. Como
não depende de
, podemos integrá-la em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções.
Passo 7
Vamos aplicar a integração por partes. Seja:
A fórmula de integração por partes é:
Aplicando:
Passo 8
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 4:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Defina os limites de integração para a integral
, sendo
a região do plano
limitada pelas curvas
e
.
Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor
1 e pelos planos
e
.