Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Temos um ponto móvel
que se move conforme as equações paramétricas:
O parâmetro
varia de
a
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa curva e encontrar a equação cartesiana que relaciona
e
sem o parâmetro
. Para isso, precisaremos usar conceitos de trigonometria e manipulação algébrica.
Passo 2
Vamos começar isolando o parâmetro
em uma das equações para eliminá-lo. Escolhi a equação de
para isso:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, isolamos :
Passo 3
Fazemos o mesmo com a equação de
:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Sabemos que as funções seno e cosseno estão relacionadas pela identidade trigonométrica fundamental:
Vamos substituir e
pelas expressões que encontramos nos passos anteriores:
Passo 5
Agora, simplificamos a equação para obter a forma cartesiana. Calculamos os quadrados:
Essa é a equação cartesiana da curva descrita pelas equações paramétricas dadas.
Resposta
A equação cartesiana da curva é:
Exercícios relacionados
Defina os limites de integração para a integral
, sendo
a região do plano
limitada pelas curvas
e
.
Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel
, quando o parâmetro
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos itens:
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor
1 e pelos planos
e
.