Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor x^2 + y^2 = 1 e pelos planos z = 0 e x + y + z = 3.

Passo 1

Vamos calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e dois planos. Mais especificamente, o cilindro é dado por e os planos são e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas usadas para calcular volumes em três dimensões. Precisaremos configurar os limites de integração corretamente e escolher uma coordenada que facilite o cálculo, como as coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. O cilindro é um cilindro circular de raio 1, alinhado com o eixo . Os planos (o plano xy) e irão cortar esse cilindro, limitando o sólido que queremos calcular.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, , e . A vantagem é que o cilindro se torna simplesmente , o que simplifica os limites de integração.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • Para : de 0 a 1 (raio do cilindro).
  • Para : de 0 a (uma volta completa ao redor do cilindro).
  • Para : de 0 até . Em coordenadas cilíndricas, isso fica .

Passo 5

A integral tripla para o volume é então:
Aqui, o adicional é o fator de Jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a :
Portanto:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Então, o volume total é:

Resposta

O volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e é unidades cúbicas.

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^2 integraly^2^4 raizx sen x d x d y
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