Calcule, utilizando integrais triplas, o volume do sólido limitado pelo cilindor
1 e pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos calcular o volume de um sólido que está limitado por um cilindro e dois planos. Mais especificamente, o cilindro é dado por
e os planos são
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que são ferramentas matemáticas usadas para calcular volumes em três dimensões. Precisaremos configurar os limites de integração corretamente e escolher uma coordenada que facilite o cálculo, como as coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos analisando. O cilindro
é um cilindro circular de raio 1, alinhado com o eixo
. Os planos
(o plano xy) e
irão cortar esse cilindro, limitando o sólido que queremos calcular.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nesse sistema,
,
e
. A vantagem é que o cilindro
se torna simplesmente
, o que simplifica os limites de integração.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
- Para
: de 0 a 1 (raio do cilindro). - Para
: de 0 a (uma volta completa ao redor do cilindro). - Para
: de 0 até . Em coordenadas cilíndricas, isso fica .
Passo 5
A integral tripla para o volume
é então:
Aqui, o
adicional é o fator de Jacobiano que aparece na mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a
:
Portanto:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Então, o volume total é:
Resposta
O volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
é
unidades cúbicas.
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, quando o parâmetro
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