Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^raizy x^2 y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma integral dupla definida por
integral0^1 integraly^raizy x^2 y^2 , dx , dy
Isso significa que vamos calcular a área sob a função dentro de uma região específica no plano . Para resolver isso, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis e também esboçar a região de integração para saber os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral interna está de até , e a integral externa vai de até . Vamos esboçar isso:
  1. Linha : é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  2. Curva : é uma parábola que abre para a direita.
Quando varia de 0 a 1, varia entre essas duas curvas.

Passo 3

Vamos visualizar a região de integração:
  • Quando , varia de 0 a 0 (ponto na origem).
  • Quando , varia de 1 a 1 (ponto em ).
  • Entre 0 e 1, está acima de .
Então, a região fica delimitada entre a linha reta e a curva , de a .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integraly^raizy x^2 y^2 , dx . A integral interna é:
y^2 integraly^raizy x^2 , dx
Como y^2 [ x^33 ]x=y^x=raizy = y^2 ( (raizy)^33 - y^33 ) é tratado como uma constante nessa integral, podemos puxar para fora:
A antiderivada de é , então:

Passo 5

Vamos simplificar as potências:
(raizy)^3 = y^3/2
Então, a expressão fica:
y^2 ( y^3/23 - y^33 ) = y^2 y^3/23 - y^2 y^33 = y^7/23 - y^53

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 ( y^7/23 - y^53 ) dy = 13 integral0^1 y^7/2 , dy - 13 integral0^1 y^5 , dy de 0 a 1:
13 [ y^9/29/2 ]0^1 - 13 [ y^66 ]0^1 = 13 cdot 29 (1^9/2 - 0) - 13 cdot 16 (1^6 - 0)
A antiderivada de é , então:

Passo 7

Simplificando as frações:
227 - 118
Para subtrair essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 54:
227 = 454 e 118 = 354
Então:
454 - 354 = 154

Resposta

O valor da integral é .

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