Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma integral dupla definida por
Isso significa que vamos calcular a área sob a função
dentro de uma região específica no plano
. Para resolver isso, precisamos entender como integrar funções de duas variáveis e também esboçar a região de integração para saber os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral interna está de
até
, e a integral externa vai de
até
. Vamos esboçar isso:
- Linha
: é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. - Curva
: é uma parábola que abre para a direita.
Quando
varia de 0 a 1,
varia entre essas duas curvas.
Passo 3
Vamos visualizar a região de integração:
- Quando
, varia de 0 a 0 (ponto na origem). - Quando
, varia de 1 a 1 (ponto em ). - Entre 0 e 1,
está acima de .
Então, a região fica delimitada entre a linha reta
e a curva
, de
a
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. A integral interna é:
Como
é tratado como uma constante nessa integral, podemos puxar
para fora:
A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Vamos simplificar as potências:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
A antiderivada de
é
, então:
Passo 7
Simplificando as frações:
Para subtrair essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 54:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
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Escreva os números complexos na forma polar.
.
Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
Resolve as seguintes edo