Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x^2 + y^2 = 9 e entre os planos z = 1 e x + z = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro definido pela equação e que está entre os planos e . Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ótimas para calcular volumes em situações como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o cilindro . Esse cilindro tem raio 3 e está alinhado no eixo z. Como a equação está em termos de x e y, dá para gente usar coordenadas cilíndricas, que vão facilitar nossa vida na hora de integrar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. O raio varia de 0 até 3, porque o cilindro tem raio 3. O ângulo percorre toda a volta, de 0 a . Já o z varia entre os planos dados: de até . Como na coordenadas cilíndricas, o limite superior de z fica .

Passo 4

Montando a integral tripla, temos:
Vamos primeiro integrar em relação a z.

Passo 5

Integrando em z:
Então, a integral fica:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a r:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Integrando em :
Porque a integral de de 0 a é zero.

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 sen x^2 d x d y
Inverta a ordem de integração na integral integral0^1 integralraiz1-y^2^1-y f(x, y) d x d y.
Nos exercícios 9 - 12, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
z = e^(- (x^2 + y^2))
(0, 0, 1)
Calcule integral duplaR sen x cos y d A, onde R=[0, pi2] times[0, pi2].