Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro
e entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro definido pela equação
e que está entre os planos
e
. Para isso, vamos usar integrais triplas, que são ótimas para calcular volumes em situações como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o cilindro
. Esse cilindro tem raio 3 e está alinhado no eixo z. Como a equação está em termos de x e y, dá para gente usar coordenadas cilíndricas, que vão facilitar nossa vida na hora de integrar. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. O raio
varia de 0 até 3, porque o cilindro tem raio 3. O ângulo
percorre toda a volta, de 0 a
. Já o z varia entre os planos dados: de
até
. Como
na coordenadas cilíndricas, o limite superior de z fica
.
Passo 4
Montando a integral tripla, temos:
Vamos primeiro integrar em relação a z.
Passo 5
Integrando em z:
Então, a integral fica:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a r:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Integrando em
:
Porque a integral de
de 0 a
é zero.
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Inverta a ordem de integração na integral
.
Nos exercícios
, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
Calcule
, onde
.