Nos exercícios , encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que seja tangente à superfície definida por no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para achar essa equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente a uma superfície em um ponto específico. O plano tangente é o melhor “acompanhamento” linear da superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos darão a inclinação da superfície nas direções e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Para em :
Para em :
Passo 5
Com as derivadas parciais avaliadas, agora podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície no ponto é:
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: