Nos exercícios 9 - 12, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
z = e^(- (x^2 + y^2))
(0, 0, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que seja tangente à superfície definida por no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para achar essa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um plano tangente a uma superfície em um ponto específico. O plano tangente é o melhor “acompanhamento” linear da superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos darão a inclinação da superfície nas direções e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado :
Para em :
Para em :

Passo 5

Com as derivadas parciais avaliadas, agora podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície no ponto é:

Passo 6

Substituindo os valores que temos:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x^2 + y^2 = 9 e entre os planos z = 1 e x + z = 5.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly^1 sen x^2 d x d y
Calcule integral duplaR sen x cos y d A, onde R=[0, pi2] times[0, pi2].
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly-1^0 e^x+y d x d y+integral0^1 integral0^1-y e^x+y d x d y