Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dada:
Vamos usar conceitos de integração dupla e entender as regiões onde essas integrais estão sendo calculadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as regiões de integração. Na primeira integral,
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a 0. Na segunda integral, novamente
vai de 0 a 1, mas agora
varia de 0 a
.
Isso significa que estamos dividindo a área de integração em duas partes diferentes para facilitar o cálculo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira integral:
Primeiro, integremos em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Agora, avaliamos entre os limites
e
:
Passo 4
Agora, integramos o resultado acima em relação a
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Primeiro, integremos em relação a
:
Avaliando entre
e
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado acima em relação a
:
Resposta
Somando as duas integrais:
Portanto, o valor final da integral é:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
.
Nos exercícios
, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
Calcule a integral dupla iterada
invertendo a ordem de integração.
Calcule
na caixa retangular
,
.