Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly-1^0 e^x+y d x d y+integral0^1 integral0^1-y e^x+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O enunciado pede para a gente esboçar a região de integração e calcular a integral dada:
integral0^1 integraly-1^0 e^x+y , dx , dy + integral0^1 integral0^1-y e^x+y , dx , dy
Vamos usar conceitos de integração dupla e entender as regiões onde essas integrais estão sendo calculadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as regiões de integração. Na primeira integral, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 0. Na segunda integral, novamente vai de 0 a 1, mas agora varia de 0 a .
Isso significa que estamos dividindo a área de integração em duas partes diferentes para facilitar o cálculo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 integraly-1^0 e^x+y , dx , dy
Primeiro, integremos em relação a integral e^x+y , dx = e^y integral e^x , dx = e^y e^x + C . A integral de e^y e^0 - e^y e^y-1 = e^y (1 - e^y-1) em relação a é:
Agora, avaliamos entre os limites e :

Passo 4

Agora, integramos o resultado acima em relação a integral0^1 e^y (1 - e^y-1) , dy :
integral0^1 e^y , dy - integral0^1 e^y e^y-1 , dy
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^1 e^y , dy - integral0^1 e^2y-1 , dy
Simplificando:
[ e^y ]0^1 - [ 12 e^2y-1 ]0^1 = (e - 1) - ( e^12 - e^-12 ) = e - 1 - e - e^-12
Calculando cada parte:
e - 1 - e2 + e^-12 = e2 - 1 + 12e
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^1 integral0^1-y e^x+y , dx , dy
Primeiro, integremos em relação a integral e^x+y , dx = e^y integral e^x , dx = e^y e^x + C :
e^y e^1 - y - e^y e^0 = e^1 - e^y
Avaliando entre e :

Passo 6

Agora, integramos o resultado acima em relação a integral0^1 (e - e^y) , dy = e integral0^1 1 , dy - integral0^1 e^y , dy = e (1) - (e^1 - 1) = e - e + 1 = 1 :

Resposta

Somando as duas integrais:
( e2 - 1 + 12e ) + 1 = e2 + 12e
Portanto, o valor final da integral é:
e2 + 12e

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