Calcule a integral dupla iterada
invertendo a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla iterada
. Isso envolve a matéria de cálculo integral, mais especificamente integração dupla e a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando invertermos a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região sobre a qual estamos integrando. O
varia de 1 até
, e para cada
, o
varia de 0 até
. Então, estamos olhando para uma área no plano
onde
está entre 1 e
e
está entre 0 e
.
Passo 3
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração. Vamos determinar os novos limites:
-
vai de 0 até , já que quando , . - Para um valor fixo de
, o varia de até . Isso porque, se rearranjarmos , temos .
Passo 4
Com os novos limites, a integral invertida fica assim:
Agora, vamos calcular essa nova integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Simplificando:
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Calculando as integrais:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral dupla invertida é igual a
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
Calcule
, onde
.
Calcule
na caixa retangular
,
.
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume da região limitada acima pelo parabolóide
e abaixo pelo parabolóide
.