Calcule a integral dupla iterada integral1^e integral0^ln (x) x^3 d y d x invertendo a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla iterada . Isso envolve a matéria de cálculo integral, mais especificamente integração dupla e a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando invertermos a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região sobre a qual estamos integrando. O varia de 1 até , e para cada , o varia de 0 até . Então, estamos olhando para uma área no plano onde está entre 1 e e está entre 0 e .

Passo 3

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites de integração. Vamos determinar os novos limites:
  • vai de 0 até , já que quando , .
  • Para um valor fixo de , o varia de até . Isso porque, se rearranjarmos , temos .

Passo 4

Com os novos limites, a integral invertida fica assim:
integral0^1 integrale^y^e x^3 , dx , dy
Agora, vamos calcular essa nova integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar integrale^y^e x^3 , dx = [ x^44 ]e^y^e = e^44 - (e^y)^44 = e^44 - e^4y4 em relação a e^44 (1 - e^4(y - 1)) :
integral0^1 ( e^44 - e^4y4 ) dy = e^44 integral0^1 dy - 14 integral0^1 e^4y dy
Simplificando:
e^44 [y]0^1 - 14 [ e^4y4 ]0^1 = e^44 (1 - 0) - 116 (e^4 - 1) = e^44 - e^416 + 116
Agora, vamos integrar isso em relação a 4e^416 - e^416 + 116 = 3e^4 + 116 :
Calculando as integrais:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral dupla invertida é igual a .

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