Calcule integral triplaQ 12 x y^2 z^3 d V na caixa retangular Q=(x, y, z) in R^3:-1 <= x <= 2, 0 <= y <= 3,0 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral tripla de na caixa retangular , onde varia de a , de a e de a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais múltiplas, que nos ajuda a integrar funções em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla como uma integral iterada. Como a região integral triplaQ 12 x y^2 z^3 , dV = 12 integral0^2 integral0^3 integral-1^2 x y^2 z^3 , dx , dy , dz é uma caixa retangular, podemos separar as integrais nas três variáveis , e :

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral-1^2 x , dx = [ 12 x^2 ]-1^2 = 12(2^2) - 12((-1)^2) = 12(4) - 12(1) = 2 - 0,5 = 32 . A integral de de a é:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^3 y^2 , dy = [ 13 y^3 ]0^3 = 13(27) - 13(0) = 9 . A integral de de a é:

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a integral0^2 z^3 , dz = [ 14 z^4 ]0^2 = 14(16) - 14(0) = 4 . A integral de de a é:

Resposta

Agora, multiplicamos todos os resultados obtidos:
12 times 32 times 9 times 4 = 12 times 1,5 times 9 times 4 = 648
Então, o valor da integral tripla é 648.

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla iterada integral1^e integral0^ln (x) x^3 d y d x invertendo a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly-1^0 e^x+y d x d y+integral0^1 integral0^1-y e^x+y d x d y
Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume da região limitada acima pelo parabolóide z = 5 - x^2 - y^2 e abaixo pelo parabolóide z = 4 x^2 + 4 y^2.
Nos exercícios 9 - 12, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
z = ln(x^2 + y^2),
(1, 0, 0)