Calcule integral duplaR sen x cos y d A, onde R=[0, pi2] times[0, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sin x cos y sobre a região R, que é o quadrado [0, pi2] times [0, pi2]. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais duplas, e para isso, vamos precisar aplicar a técnica de separação das integrais em funções de x e y separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla sobre uma região R. A integral integral duplaR sin x cos y , dA representa a soma de todos os pequenos elementos da função sin x cos y na área definida por R. Como R é um retângulo, podemos separar a integral em duas integrais simples, uma em relação a x e outra em relação a y.

Passo 3

Vamos aplicar a propriedade de que a integral dupla de uma função que pode ser escrita como o produto de uma função de x e uma função de y separa-se em duas integrais simples. Ou seja:
integral duplaR sin x cos y , dA = ( integral0^pi2 sin x , dx ) ( integral0^pi2 cos y , dy )

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais simples separadamente. Primeiro, a integral de sin x de 0 a pi2:
integral0^pi2 sin x , dx = -cos x g|0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1

Passo 5

Em seguida, calculamos a integral de cos y de 0 a pi2:
integral0^pi2 cos y , dy = sin y g|0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 6

Finalmente, multiplicamos os resultados das duas integrais simples para obter a integral dupla:
integral duplaR sin x cos y , dA = 1 times 1 = 1

Resposta

O valor da integral dupla é 1.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 9 - 12, encontre uma equação para o plano que seja tangente à superfície no ponto dado.
z = e^(- (x^2 + y^2))
(0, 0, 1)
Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro x^2 + y^2 = 9 e entre os planos z = 1 e x + z = 5.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral.
integral0^1 integraly-1^0 e^x+y d x d y+integral0^1 integral0^1-y e^x+y d x d y
Calcule a integral dupla iterada integral1^e integral0^ln (x) x^3 d y d x invertendo a ordem de integração.