Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é o quadrado . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais duplas, e para isso, vamos precisar aplicar a técnica de separação das integrais em funções de e separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular uma integral dupla sobre uma região . A integral representa a soma de todos os pequenos elementos da função na área definida por . Como é um retângulo, podemos separar a integral em duas integrais simples, uma em relação a e outra em relação a .
Passo 3
Vamos aplicar a propriedade de que a integral dupla de uma função que pode ser escrita como o produto de uma função de e uma função de separa-se em duas integrais simples. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais simples separadamente. Primeiro, a integral de de a :
Passo 5
Em seguida, calculamos a integral de cos y de 0 a pi2:
integral0^pi2 cos y , dy = sin y g|0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Passo 6
Finalmente, multiplicamos os resultados das duas integrais simples para obter a integral dupla: