Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior: fxyz para f(x, y, z) = e^(x y) / (x^2 y z) + ln(x + y) / (x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada parcial de ordem superior da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas, utilizando regras de derivação como a regra do produto, da cadeia e do quociente. Vamos passo a passo entender e resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse símbolo indica que vamos derivar a função primeiro em relação a , depois o resultado dessa derivada em relação a e, por fim, essa última derivada em relação a . Então, vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos derivar cada termo de em relação a .
Para o primeiro termo , usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Para o segundo termo , também usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, a derivada parcial é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, derivamos o termo em relação a :
Para o termo :
E para o termo :
Então, é a soma de todas essas derivadas:

Passo 5

Finalmente, vamos derivar em relação a para encontrar .
Observamos que os termos que envolvem são:
Derivando em relação a :
Os outros termos não dependem de , então suas derivadas em relação a são zero.
Assim, é:

Resposta

A derivada parcial de ordem superior da função dada é:

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