Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a derivada parcial de ordem superior
da função
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais múltiplas, utilizando regras de derivação como a regra do produto, da cadeia e do quociente. Vamos passo a passo entender e resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse símbolo indica que vamos derivar a função
primeiro em relação a
, depois o resultado dessa derivada em relação a
e, por fim, essa última derivada em relação a
. Então, vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo de
em relação a
.
Para o primeiro termo
, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Para o segundo termo
, também usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, a derivada parcial
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, derivamos o termo
em relação a
:
Para o termo
:
E para o termo
:
Então,
é a soma de todas essas derivadas:
Passo 5
Finalmente, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Observamos que os termos que envolvem
são:
Derivando em relação a
:
Os outros termos não dependem de
, então suas derivadas em relação a
são zero.
Assim,
é:
Resposta
A derivada parcial de ordem superior
da função dada é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
para
Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo: