Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me passou é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Para isso, vamos dividir todos os termos por para isolar :
Agora, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Como já está no denominador original, assumimos que e podemos simplificar .

Passo 4

Multiplicamos todos os termos da equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando:
Mas já tínhamos essa forma, então o próximo passo é reescrever o lado esquerdo como a derivada do produto :
Ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Calculando a integral do lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar a constante para apenas (como a constante de integração é arbitrária):

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x exp (x^2) d y d x
Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno y'' - x^3 * y = -4 * x^3 para y(0) = 6
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior: fxyz para f(x, y, z) = e^(x y) / (x^2 y z) + ln(x + y) / (x y)
Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno y'' - y cot(x) = 2x - x^2 cot(x) para y(1/2 pi) = 1/4 pi^2 + 1