Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral iterada dada por:
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 y , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em regiões bidimensionais. Vamos precisar entender bem os limites de integração e, se for útil, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando para os limites:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 até .
A equação representa a metade superior de um círculo de raio 1 centrado na origem. Então, estamos olhando para um quadrante do círculo, onde x e y são positivos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral iterada como está. Primeiro, integramos em relação a y, mantendo x constante.
integral0^raiz1 - x^2 y , dy
A função a ser integrada aqui é y^22 |0^raiz1 - x^2 = (raiz1 - x^2)^22 - 0^22 = 1 - x^22 , cuja antiderivada é . Aplicando os limites:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral externa, que é em relação a x:
integral0^1 1 - x^22 , dx
Podemos fatorar o 12 integral0^1 (1 - x^2) , dx para simplificar:

Passo 5

Vamos integrar integral (1 - x^2) , dx = integral 1 , dx - integral x^2 , dx = x - x^33 + C em relação a x:
(x - x^33) |0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 6

Multiplicamos pelo fator que colocamos fora da integral:
12 times 23 = 13

Resposta

A integral iterada vale .

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