Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
para
Passo 1
Então, temos um problema de equação diferencial do tipo valor inicial e de contorno. A equação que precisamos resolver é:
Além disso, temos a condição inicial:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar métodos para encontrar soluções particulares e gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que fique mais clara:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea, onde o lado esquerdo é a parte homogênea e o lado direito é a parte não homogênea.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada primeiro:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar duas soluções lineares independentes, que chamaremos de
e
.
Passo 4
Assumindo uma solução da forma
, vamos verificar:
Substituindo na equação homogênea:
Isso não satisfaz a equação, então precisamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos usar o método de variação de parâmetros. Para isso, primeiro encontramos as soluções da equação homogênea. Suponha que temos
, mesmo que não satisfaça inicialmente, isso nos ajuda a construir a solução geral.
A solução geral da equação homogênea será:
onde
e
são constantes que serão determinadas.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea. Vamos supor uma solução do tipo polinomial:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar as constantes
e
. Temos:
Substituindo na solução geral:
Simplificando:
Não há outra condição para determinar
, então assumimos
para simplificar.
Resposta
A solução da equação diferencial é: