Calcule a derivada direcional da função f no ponto P0 na direção do vetor u(Du f(P0)) : f(x, y, z) = x*y + y*z + z*x, P0 = (1, -1, 1) e u = i + j - k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve entender um pouco sobre derivadas direcionais, gradientes e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.
Nossa função é:
Então, vamos encontrar as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, a gente precisa avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A próxima etapa é normalizar o vetor , ou seja, transformar em um vetor unitário. A gente faz isso dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, usamos a definição da derivada direcional, que é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-1^cos y x sen y d x d y
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 y d y d x
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior: f_yx para f(x, y) = y^3 + x^2 * y + 4 * y^2 - y * ln(y + 1)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x x sen y d y d x