Calcule a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor : e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso envolve entender um pouco sobre derivadas direcionais, gradientes e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.
Nossa função é:
Então, vamos encontrar as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:
Passo 3
Agora, a gente precisa avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
A próxima etapa é normalizar o vetor , ou seja, transformar em um vetor unitário. A gente faz isso dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, usamos a definição da derivada direcional, que é o produto escalar entre o gradiente da função no ponto e o vetor unitário na direção desejada:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é: