Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e verificar se esses pontos são de máximo ou mínimo locais. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Podemos resolver o sistema usando o método da substituição ou da combinaç��o. Vou usar a combinação aqui.
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituindo
na primeira equação original:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Para verificar se esse ponto é de máximo ou mínimo, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Passo 6
Interpretando o resultado:
- Se
e , é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela, ou seja, não é nem um máximo nem um mínimo local.
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para
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.