Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo: f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2 + 3x - 3y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e verificar se esses pontos são de máximo ou mínimo locais. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente as derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente precisa resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 4

Podemos resolver o sistema usando o método da substituição ou da combinaç��o. Vou usar a combinação aqui.
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituindo na primeira equação original:
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Para verificar se esse ponto é de máximo ou mínimo, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 6

Interpretando o resultado:
  • Se e , é um mínimo local.
  • Se e , é um máximo local.
  • Se , é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela, ou seja, não é nem um máximo nem um mínimo local.

Exercícios relacionados

Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno y'' - y cot(x) = 2x - x^2 cot(x) para y(1/2 pi) = 1/4 pi^2 + 1
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior: fxyz para f(x, y, z) = e^(x y) / (x^2 y z) + ln(x + y) / (x y)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 y d y d x
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-1^cos y x sen y d x d y