Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-1^cos y x sen y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integral dupla! A gente tem a seguinte integral iterada:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular áreas ou volumes sobre uma região no plano. Vamos precisar entender bem os limites de integração e, se for útil, trocar a ordem de integração para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O varia de a , e para cada fixo, o varia de a . Vamos desenhar isso no plano .
  • Quando , , então vai de a .
  • Quando , , então vai de a (ou seja, apenas ).
Isso nos mostra que a região está limitada por entre e , e entre e a curva .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral iterada como está. Primeiro, integramos em relação a integral-1^cos y x cdot sen y , dx :
Aqui, é uma constante em relação a sen y integral-1^cos y x , dx , então podemos tirá-la da integral:
A integral de sen y [ x^22 ]-1^cos y = sen y ( (cos y)^22 - (-1)^22 ) = sen y ( cos^2 y - 12 ) em relação a sen y ( -sin^2 y2 ) = -sen^3 y2 é , então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^pi -sen^3 y2 , dy = -12 integral0^pi sen^3 y , dy de sen^3 y = sen y (1 - cos^2 y) a -12 integral0^pi sen y (1 - cos^2 y) , dy = -12 [ integral0^pi sen y , dy - integral0^pi sen y cos^2 y , dy ] :
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
Segunda integral:
Para , fazemos substituição integral0^pi sen y , dy = -cos y |0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2 , então :
Avaliada de integral sen y cos^2 y , dy = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3 y3 + C a -cos^3 pi3 + cos^3 03 = -(-1)^33 + 1^33 = 13 + 13 = 23 :

Passo 6

Voltando à expressão original:
-12 ( 2 - 23 ) = -12 ( 63 - 23 ) = -12 cdot 43 = -23

Resposta

O valor da integral é .

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 y d y d x
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