Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integral dupla! A gente tem a seguinte integral iterada:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que servem para calcular áreas ou volumes sobre uma região no plano. Vamos precisar entender bem os limites de integração e, se for útil, trocar a ordem de integração para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O
varia de
a
, e para cada
fixo, o
varia de
a
. Vamos desenhar isso no plano
.
- Quando
, , então vai de a . - Quando
, , então vai de a (ou seja, apenas ).
Isso nos mostra que a região está limitada por
entre
e
, e
entre
e a curva
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral iterada como está. Primeiro, integramos em relação a
:
Aqui, é uma constante em relação a
, então podemos tirá-la da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Segunda integral:
Para , fazemos substituição
, então :
Avaliada de
a
:
Passo 6
Voltando à expressão original:
Resposta
O valor da integral é
.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
:
e
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para