Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior: f_yx para f(x, y) = y^3 + x^2 * y + 4 * y^2 - y * ln(y + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de ordem superior, especificamente , para a função . Isso envolve calcular derivadas parciais em uma certa ordem, usando conceitos de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, derivamos cada termo de em relação a :
Derivando termo a termo:
  1. (já que é constante em relação a )
  2. (usando a regra do produto)
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, queremos encontrar , que é a derivada de em relação a . Observando a expressão de :
Vamos derivar termo a termo em relação a :
  1. (pois não há nesse termo)
  2. (sem )
  3. (sem )
  4. (sem )
Então, a única derivada que não é zero é . Portanto:

Resposta

A derivada parcial de ordem superior é igual a .

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integral0^pi integral-1^cos y x sen y d x d y
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x x sen y d y d x
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