Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
Aqui, nosso objetivo é calcular essa integral iterada. Isso envolve entender a região de integração no plano xy e decidir se é mais fácil resolver na ordem dada ou trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 até
. Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no primeiro quadrante, abaixo da linha
e entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a ordem de integração atual: primeiro integramos em relação a
e depois em relação a
. A integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
.
Passo 4
Integramos
em relação a
. Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Calculamos a primeira integral:
Passo 7
Agora, calculamos a segunda integral
usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Então:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 8
Voltando à nossa integral original:
Resposta
A integral dupla vale:
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Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
:
e
Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
:
e
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.