Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x x sen y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral0^1 integral0^x x sin y , dy , dx
Aqui, nosso objetivo é calcular essa integral iterada. Isso envolve entender a região de integração no plano xy e decidir se é mais fácil resolver na ordem dada ou trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até . Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no primeiro quadrante, abaixo da linha e entre e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a ordem de integração atual: primeiro integramos em relação a integral0^1 ( integral0^x x sin y , dy ) dx e depois em relação a . A integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 4

Integramos x integral0^x sin y , dy em relação a x [ -cos y ]0^x = x ( -cos x + cos 0 ) . Como x ( 1 - cos x ) é uma constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A integral de em relação a é . Então:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 x ( 1 - cos x ) dx
Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 x , dx - integral0^1 x cos x , dx

Passo 6

Calculamos a primeira integral:
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12

Passo 7

Agora, calculamos a segunda integral integral u , dv = uv - integral v , du usando integração por partes. Lembrando que:
u = x Rightarrow du = dx
Escolhemos:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x
integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x + C
Então:
[ x sin x + cos x ]0^1 = (1 cdot sin 1 + cos 1) - (0 cdot sin 0 + cos 0) = sin 1 + cos 1 - 1
Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
12 - (sin 1 + cos 1 - 1) = 12 - sin 1 - cos 1 + 1 = 32 - sin 1 - cos 1

Resposta

A integral dupla vale:
32 - sin 1 - cos 1

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^2 integral1^2(2 x y-y^3) d y d x