Calcule a derivada direcional da função f no ponto P0 na direção do vetor u(Du f(P0)) : f(x, y) = x * y - y^2, P0 = (1, 1) e u = i - j

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a normalização do vetor direção.

Passo 2

A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pela fórmula:
Aqui, é o gradiente de no ponto e é o vetor direção normalizado (isto é, com comprimento 1).

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção . A normalização de um vetor é dada por:
Onde é o comprimento (ou norma) de :
Para :
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor unidade :

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x x sen y d y d x
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