Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
:
e
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional, que envolve o gradiente da função e a normalização do vetor direção.
Passo 2
A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada pela fórmula:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
e
é o vetor direção
normalizado (isto é, com comprimento 1).
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando as derivadas:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização de um vetor
é dada por:
Onde
é o comprimento (ou norma) de
:
Para
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente
e o vetor unidade
:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é
.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
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sen