Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que calcular uma integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis sobre uma região específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integração dupla funciona e os passos para calcular essas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão definidas com
variando de 0 a 2 e
variando de 1 a 2. Então, a região
é um retângulo no plano
onde:
Visualmente, é um retângulo com base no eixo
de 0 a 2 e altura no eixo
de 1 a 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, que é a integral em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
- Para
:
- Para
:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Vamos avaliar a integral interna nos limites de
a
:
Simplificando:
Ou em fração:
Passo 5
Agora, temos que calcular a integral externa, que é a integral em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
- Para
:
- Para
:
Então, a integral externa fica:
Passo 6
Vamos avaliar a integral externa nos limites de
a
:
Ou, em fração:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
:
e
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
sen
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para