Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^2 integral1^2(2 x y-y^3) d y d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que calcular uma integral dupla:
integral0^2 integral1^2(2 x y - y^3) , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas, que envolvem integrar uma função em duas variáveis sobre uma região específica. Para resolver isso, vamos precisar entender como a integração dupla funciona e os passos para calcular essas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. As integrais estão definidas com variando de 0 a 2 e variando de 1 a 2. Então, a região é um retângulo no plano onde:
Visualmente, é um retângulo com base no eixo de 0 a 2 e altura no eixo de 1 a 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é a integral em relação a integral1^2 (2xy - y^3) , dy :
integral 2xy , dy = 2x integral y , dy = 2x ( y^22 ) = x y^2
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para integral -y^3 , dy = -y^44 :
x y^2 - y^44 avaliada de y=1 a y=2
  1. Para :
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Vamos avaliar a integral interna nos limites de [ x (2)^2 - (2)^44 ] - [ x (1)^2 - (1)^44 ] = (4x - 164) - (x - 14) = (4x - 4) - (x - 0.25) a 4x - 4 - x + 0.25 = 3x - 3.75 :
3x - 154
Simplificando:
Ou em fração:

Passo 5

Agora, temos que calcular a integral externa, que é a integral em relação a integral0^2 (3x - 154) , dx :
integral 3x , dx = 3x^22
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para integral -154 , dx = -154 x :
3x^22 - 154 x avaliada de x=0 a x=2
  1. Para :
Então, a integral externa fica:

Passo 6

Vamos avaliar a integral externa nos limites de ( 3(2)^22 - 154(2) ) - ( 3(0)^22 - 154(0) ) = ( 122 - 304 ) - 0 = (6 - 7.5) = -1.5 a - 32 :
Ou, em fração:

Resposta

A integral dupla vale .

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