Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^raiz2 integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo integral duplo. A tarefa é esboçar a região de integração e calcular a integral iterada dada por:
integral0^raiz2 integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y , dx , dy
Vamos precisar usar conhecimento sobre integrais duplas, entender os limites de integração e talvez mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Olhando para os limites de integração:
  • Para : vai de até .
  • Para : para cada valor de , varia de até .
Isso significa que, para cada valor de , está limitado dentro de uma curva que depende de . Essa curva é uma parábola invertida, pois a expressão dentro da raiz envolve .

Passo 3

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y , dx :
y times ( raiz4 - 2y^2 - (-raiz4 - 2y^2) ) = y times 2raiz4 - 2y^2
Aqui, integral0^raiz2 2y raiz4 - 2y^2 , dy é tratado como uma constante em relação a . Então, a integral de em relação a é simplesmente multiplicado pela largura do intervalo de :
Portanto, a integral original simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral resultante em relação a integral0^raiz2 2y raiz4 - 2y^2 , dy :
u = 4 - 2y^2
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
dudy = -4y Rightarrow dy = -du4y
Então, derivando ambos os lados em relação a 2y raizu times ( -du4y ) = -12 raizu , du :
-12 integral4^0 u^1/2 , du = 12 integral0^4 u^1/2 , du
Substituindo na integral:
12 times [ 23 u^3/2 ]0^4 = 13 ( 4^3/2 - 0 )
Os novos limites de integração quando 4^3/2 = ( raiz4 )^3 = 2^3 = 8 e 13 times 8 = 83 são:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a integral se torna:
Integrando :
Calculando :
Então:

Resposta

A integral vale .

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