Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de cálculo integral duplo. A tarefa é esboçar a região de integração e calcular a integral iterada dada por:
Vamos precisar usar conhecimento sobre integrais duplas, entender os limites de integração e talvez mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Olhando para os limites de integração:
- Para
: vai de até . - Para
: para cada valor de , varia de até .
Isso significa que, para cada valor de
,
está limitado dentro de uma curva que depende de
. Essa curva é uma parábola invertida, pois a expressão dentro da raiz envolve
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
. Então, a integral de
em relação a
é simplesmente
multiplicado pela largura do intervalo de
:
Portanto, a integral original simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral resultante em relação a
:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na integral:
Os novos limites de integração quando
e
são:
- Quando
: - Quando
:
Então, a integral se torna:
Integrando
:
Calculando
:
Então:
Resposta
A integral vale
.
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(2) (2 pontos) Determine se cada série converge ou diverge. Se cla convergir, calcule a sua soma.
a) ;
a)
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a)
a)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.