(2) (2 pontos) Determine se cada série converge ou diverge. Se cla convergir, calcule a sua soma.
a) sumn=1^infty -2n(n+1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série . O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas e, mais especificamente, séries telescópicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações e identificar se a série converge ou diverge, e se converge, encontrar a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão -2n(n+1) = -2(1n - 1n+1) = -2n + 2n+1 . Sabemos que pode ser decomposta em frações parciais, ou seja, . Então, multiplicando por -2, temos:

Passo 3

Agora, vamos escrever os termos da série usando essa decomposição:
sumn=1^infty (-2n + 2n+1)
Isso cria uma série telescópica, onde a maioria dos termos vai se cancelar quando somarmos vários deles.

Passo 4

Vamos somar os primeiros alguns termos para ver o padrão:
(-21 + 22) + (-22 + 23) + (-23 + 24) + dots
Observa que cancela com , cancela com , e assim por diante. Esse cancelamento continua indefinidamente.

Passo 5

No limite, à medida que somamos até o infinito, tudo se cancela exceto o primeiro termo da primeira fração e o termo que fica “aberto” na última fração. Porém, como estamos indo até o infinito, o último termo tende a zero. Então, a soma total fica apenas com:
-2 cdot 11 = -2

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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