(2) (2 pontos) Determine se cada série converge ou diverge. Se cla convergir, calcule a sua soma.
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
. O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas e, mais especificamente, séries telescópicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações e identificar se a série converge ou diverge, e se converge, encontrar a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
pode ser decomposta em frações parciais, ou seja,
. Então, multiplicando por -2, temos:
Passo 3
Agora, vamos escrever os termos da série usando essa decomposição:
Isso cria uma série telescópica, onde a maioria dos termos vai se cancelar quando somarmos vários deles.
Passo 4
Vamos somar os primeiros alguns termos para ver o padrão:
Observa que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Esse cancelamento continua indefinidamente.
Passo 5
No limite, à medida que somamos até o infinito, tudo se cancela exceto o primeiro termo da primeira fração e o termo que fica “aberto” na última fração. Porém, como estamos indo até o infinito, o último termo tende a zero. Então, a soma total fica apenas com:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
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Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior:
para
sen
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a)
a)