Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma integral dupla
e precisamos calcular essa integral. O conteúdo envolvido aqui é a integração iterada, onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e, talvez, inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que
varia de 0 a 2, e para cada valor de
,
varia de 1 até
. Imagine um gráfico onde o eixo
vai de 0 a 2 e o eixo
vai de 1 até
. A área que vamos integrar está limitada por essas curvas.
Passo 3
Agora, vamos tentar calcular a integral na ordem dada: primeiro integramos em relação a
. A integral interna é
. Integrar em relação a
é simples, porque a função a ser integrada é 1. Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com
. Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
.
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
: A integral de é , então avaliando de 0 a 2 temos . -
: A integral de 1 é , então avaliando de 0 a 2 temos .
Passo 6
Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral iterada
é igual a
.
Exercícios relacionados
(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a)
a)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
a) (Use um teste de comparação);
a)
Consideremos a função de duas variáveis
. Encontre a equação geral (GA) do plano tangente ao gráfico da função f no ponto
do gráfico. Dica: identifique a função g de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja exatamente o gráfico da função f. Feito isso, encontre o vetor gradiente dessa função g, no ponto em questão. Esse vetor será o vetor normal ao plano requerido, e assim tem-se todas as informações para encontrar a equação geral do plano tangente.