Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^2 integral1^exp (x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma integral dupla e precisamos calcular essa integral. O conteúdo envolvido aqui é a integração iterada, onde a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e, talvez, inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de 1 até . Imagine um gráfico onde o eixo vai de 0 a 2 e o eixo vai de 1 até . A área que vamos integrar está limitada por essas curvas.

Passo 3

Agora, vamos tentar calcular a integral na ordem dada: primeiro integramos em relação a . A integral interna é . Integrar em relação a é simples, porque a função a ser integrada é 1. Então, .

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com . Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar: .

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. : A integral de é , então avaliando de 0 a 2 temos .
  2. : A integral de 1 é , então avaliando de 0 a 2 temos .

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
(exp(2) - 1) - 2 = exp(2) - 3

Resposta

A integral iterada é igual a .

Exercícios relacionados

(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a) { (-1)^n * 2 * n^2 / (3 * n^3 - 2) }
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^raiz2 integral-raiz4-2 y^2^raiz4-2 y^2 y d x d y
(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
a) sumn=0^infty 3 n^2n^3+1 (Use um teste de comparação);
Consideremos a função de duas variáveis f(x, y) = x^2 + y^2. Encontre a equação geral (GA) do plano tangente ao gráfico da função f no ponto (1, 1, f(1, 1)) do gráfico. Dica: identifique a função g de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja exatamente o gráfico da função f. Feito isso, encontre o vetor gradiente dessa função g, no ponto em questão. Esse vetor será o vetor normal ao plano requerido, e assim tem-se todas as informações para encontrar a equação geral do plano tangente.