(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a) { (-1)^n * 2 * n^2 / (3 * n^3 - 2) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência { (-1)^n * 2 * n^2 / (3 * n^3 - 2) } converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos do numerador e do denominador da fração. No numerador temos e no denominador . Geralmente, em sequências racionais (onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador), quem manda no limite são os termos de maior grau.

Passo 3

Vamos focar nos termos de maior grau: no numerador é e no denominador é . Ignorando os outros termos que têm grau menor, a sequência fica aproximadamente:
À medida que cresce, tende a zero.

Passo 4

Agora, observamos o fator . Esse fator faz a sequência alternar entre positivo e negativo, mas como o termo tende a zero, essa alternância também está se aproximando de zero. Portanto, a sequência toda tende a zero.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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