(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos do numerador e do denominador da fração. No numerador temos
e no denominador
. Geralmente, em sequências racionais (onde temos um polinômio no numerador e outro no denominador), quem manda no limite são os termos de maior grau.
Passo 3
Vamos focar nos termos de maior grau: no numerador é
e no denominador é
. Ignorando os outros termos que têm grau menor, a sequência fica aproximadamente:
À medida que
cresce,
tende a zero.
Passo 4
Agora, observamos o fator
. Esse fator faz a sequência alternar entre positivo e negativo, mas como o termo
tende a zero, essa alternância também está se aproximando de zero. Portanto, a sequência toda tende a zero.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 0.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
(2) (2 pontos) Determine se cada série converge ou diverge. Se cla convergir, calcule a sua soma.
a) ;
a)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
a) (Use um teste de comparação);
a)