Consideremos a função de duas variáveis f(x, y) = x^2 + y^2. Encontre a equação geral (GA) do plano tangente ao gráfico da função f no ponto (1, 1, f(1, 1)) do gráfico. Dica: identifique a função g de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja exatamente o gráfico da função f. Feito isso, encontre o vetor gradiente dessa função g, no ponto em questão. Esse vetor será o vetor normal ao plano requerido, e assim tem-se todas as informações para encontrar a equação geral do plano tangente.

Passo 1

Beleza! A gente tem a função de duas variáveis e precisa encontrar a equação geral do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto . Vamos trabalhar com cálculo de derivadas parciais e entender como obter o plano tangente usando o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto específico onde vamos calcular o plano tangente. Sabemos que , então o ponto é .

Passo 3

A dica sugere que a gente considere uma função de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja o gráfico de . Então, definimos:
Assim, o gráfico de corresponde à superfície onde .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor gradiente de , que é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e . O gradiente é:
Calculando as derivadas:

Passo 5

No ponto , substituímos e nas derivadas para encontrar o vetor gradiente naquele ponto:
Esse vetor é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 6

Sabemos que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde é o vetor normal e é o ponto pelo qual o plano passa. Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Juntando os termos:
Podemos reescrever para ficar mais bonito:

Resposta

A equação geral do plano tangente ao gráfico de no ponto é:

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