Consideremos a função de duas variáveis
. Encontre a equação geral (GA) do plano tangente ao gráfico da função f no ponto
do gráfico. Dica: identifique a função g de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja exatamente o gráfico da função f. Feito isso, encontre o vetor gradiente dessa função g, no ponto em questão. Esse vetor será o vetor normal ao plano requerido, e assim tem-se todas as informações para encontrar a equação geral do plano tangente.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função de duas variáveis
e precisa encontrar a equação geral do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Vamos trabalhar com cálculo de derivadas parciais e entender como obter o plano tangente usando o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto específico onde vamos calcular o plano tangente. Sabemos que
, então o ponto é
.
Passo 3
A dica sugere que a gente considere uma função
de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja o gráfico de
. Então, definimos:
Assim, o gráfico de
corresponde à superfície onde
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente de
, que é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
. O gradiente é:
Calculando as derivadas:
Passo 5
No ponto
, substituímos
e
nas derivadas para encontrar o vetor gradiente naquele ponto:
Esse vetor é o vetor normal ao plano tangente.
Passo 6
Sabemos que a equação geral de um plano pode ser escrita como:
Onde
é o vetor normal e
é o ponto pelo qual o plano passa. Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Juntando os termos:
Podemos reescrever para ficar mais bonito:
Resposta
A equação geral do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é:
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