(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
a) sumn=0^infty 3 n^2n^3+1 (Use um teste de comparação);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série sumn=0^infty 3 n^2n^3+1. O assunto aqui é convergência de séries, e vamos usar o teste de comparação para resolver isso. Vamos precisar comparar a série dada com uma série que a gente já conhece se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série quando 3n^2n^3+1 = 3/n1 + 1/n^3 fica bem grandão, tipo tendendo ao infinito. Olhando para a expressão , podemos simplificar essa fração dividindo cada termo pelo maior grau de no denominador, que é :
Quando tende ao infinito, e vão para zero, então a expressão simplifica para aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série . Essa é a famosa série harmônica, que a gente sabe que diverge. Como o termo geral da nossa série é aproximadamente , que é maior que ou igual a um múltiplo da série harmônica para grande, podemos usar o teste de comparação direta.

Passo 4

Aplicando o teste de comparação direta: se os termos da nossa série são maiores que os termos de uma série que diverge, então a nossa série também diverge. Como para grande, e a série diverge, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty 3 n^2n^3+1 diverge.

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