(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
a)
(Use um teste de comparação);
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série
. O assunto aqui é convergência de séries, e vamos usar o teste de comparação para resolver isso. Vamos precisar comparar a série dada com uma série que a gente já conhece se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série quando
fica bem grandão, tipo tendendo ao infinito. Olhando para a expressão
, podemos simplificar essa fração dividindo cada termo pelo maior grau de
no denominador, que é
:
Quando
tende ao infinito,
e
vão para zero, então a expressão simplifica para aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série
. Essa é a famosa série harmônica, que a gente sabe que diverge. Como o termo geral da nossa série é aproximadamente
, que é maior que ou igual a um múltiplo da série harmônica para
grande, podemos usar o teste de comparação direta.
Passo 4
Aplicando o teste de comparação direta: se os termos da nossa série são maiores que os termos de uma série que diverge, então a nossa série também diverge. Como
para
grande, e a série
diverge, concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a)
a)
Consideremos a função de duas variáveis
. Encontre a equação geral (GA) do plano tangente ao gráfico da função f no ponto
do gráfico. Dica: identifique a função g de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja exatamente o gráfico da função f. Feito isso, encontre o vetor gradiente dessa função g, no ponto em questão. Esse vetor será o vetor normal ao plano requerido, e assim tem-se todas as informações para encontrar a equação geral do plano tangente.
(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
b) (Use o teste da razão) ;
b)