(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
a) sumn=0^infty 3 n^2n^3+1 (Use um teste de comparação);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pede para testar a convergência ou divergência da série sumn=0^infty 3 n^2n^3+1. O assunto aqui é convergência de séries, e vamos usar o teste de comparação para resolver isso. Vamos precisar comparar a série dada com uma série que a gente já conhece se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série quando 3n^2n^3+1 = 3/n1 + 1/n^3 fica bem grandão, tipo tendendo ao infinito. Olhando para a expressão , podemos simplificar essa fração dividindo cada termo pelo maior grau de no denominador, que é :
Quando tende ao infinito, e vão para zero, então a expressão simplifica para aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série . Essa é a famosa série harmônica, que a gente sabe que diverge. Como o termo geral da nossa série é aproximadamente , que é maior que ou igual a um múltiplo da série harmônica para grande, podemos usar o teste de comparação direta.

Passo 4

Aplicando o teste de comparação direta: se os termos da nossa série são maiores que os termos de uma série que diverge, então a nossa série também diverge. Como para grande, e a série diverge, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty 3 n^2n^3+1 diverge.

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^2 integral1^exp (x) d y d x
(1) (2 pontos) Determinar se a sequência converge ou diverge. Em caso de convergência, calcule o limite:
a) { (-1)^n * 2 * n^2 / (3 * n^3 - 2) }
Consideremos a função de duas variáveis f(x, y) = x^2 + y^2. Encontre a equação geral (GA) do plano tangente ao gráfico da função f no ponto (1, 1, f(1, 1)) do gráfico. Dica: identifique a função g de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja exatamente o gráfico da função f. Feito isso, encontre o vetor gradiente dessa função g, no ponto em questão. Esse vetor será o vetor normal ao plano requerido, e assim tem-se todas as informações para encontrar a equação geral do plano tangente.
(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
b) sumn=1^infty n ln (n)2^n (Use o teste da razão) ;