Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral iterada . Isso envolve cálculo de integrais duplas, onde a gente integra uma função em duas variáveis. Vamos precisar entender como funciona a integração iterada e, se for útil, mudar a ordem de integração para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de até e variando de até . Isso significa que estamos olhando para uma área no plano onde, para cada entre e , vai de até .
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a . A função que estamos integrando é , que na verdade não depende de . Então, integrar em relação a é simples:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a integral0^1 sin(x^3) cdot x^2 , dx :
du = 3x^2 , dx Rightarrow du3 = x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar . Então, derivando ambos os lados: