Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral0^x^2 sen(x^3) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região de integração e calcular a integral iterada . Isso envolve cálculo de integrais duplas, onde a gente integra uma função em duas variáveis. Vamos precisar entender como funciona a integração iterada e, se for útil, mudar a ordem de integração para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de até e variando de até . Isso significa que estamos olhando para uma área no plano onde, para cada entre e , vai de até .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a integral0^x^2 sin(x^3) , dy = sin(x^3) cdot y gr|0^x^2 = sin(x^3) cdot x^2 . A função que estamos integrando é , que na verdade não depende de . Então, integrar em relação a é simples:

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a integral0^1 sin(x^3) cdot x^2 , dx :
du = 3x^2 , dx Rightarrow du3 = x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos deixar . Então, derivando ambos os lados:

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^1 sin(x^3) cdot x^2 , dx = integral0^1 sin(u) cdot du3 = 13 integral0^1 sin(u) , du
Agora, a integral de 13 [ -cos(u) ]0^1 = 13 ( -cos(1) + cos(0) ) é 13 ( 1 - cos(1) ) , então:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, o valor da integral é 1 - 0,54033 approx 0,45973 approx 0,1532 , que aproximadamente é:

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b) sumn=1^infty n ln (n)2^n (Use o teste da razão) ;
Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo: f(x, y) = x^2 - y^2 - 2x + y + 6
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^raiz22 integraly^raiz1-y^2 x y d x d y