(3) (2 pontos) Teste a convergência ou a divergência das séries:
b) sumn=1^infty n ln (n)2^n (Use o teste da razão) ;

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se a série converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de série. Para isso, vamos precisar entender como esse teste funciona e aplicar ele passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se o limite , então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, an+1 = (n+1) ln(n+1)2^n+1 . Precisamos calcular e depois formar a razão .
Primeiro, calculemos :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an = (n+1) ln(n+1)2^n+1n ln(n)2^n = (n+1) ln(n+1)2n ln(n) :

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = n+12n cdot ln(n+1)ln(n) = ( n+1n ) cdot 12 cdot ln(n+1)ln(n)

Passo 6

Vamos analisar o limite quando limn to infty an+1an = limn to infty ( n+1n ) cdot 12 cdot ln(n+1)ln(n) tende ao infinito:
1 cdot 12 cdot 1 = 12
Simplificando cada parte:
  • pois para grande.
Então, o limite fica:

Passo 7

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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