(5) (2 pontos) Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, especificamente como determinar onde a série converge (ou seja, onde ela dá um valor finito) usando o raio de convergência e, a partir dele, encontrar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Esse raio, que chamamos de , nos diz até que ponto em torno de um ponto central a série de potências converge. Ou seja, para valores de que estão dentro desse raio, a série vai somar de forma que dá um resultado finito.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é bem útil para séries de potências e funciona assim:
Onde é o coeficiente da série.
Passo 4
Vamos identificar an = (-1)^nn+2 na nossa série:
R = limn to infty | (-1)^nn+2(-1)^n+1(n+1)+2 | = limn to infty | (n+3)(-1)^n(n+2)(-1)^n+1 | = limn to infty n+3n+2
Aplicando o Teste da Razão:
Simplificando o limite:
R = limn to infty n+3n+2 = 1
Então, o raio de convergência é .
Passo 5
Com o raio de convergência |x + 1| < 1 Rightarrow -1 < x + 1 < 1 Rightarrow -2 < x < 0 , sabemos que a série converge para . Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
Então, o intervalo de convergência preliminar é .
Passo 6
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos finais do intervalo, ou seja, em sumn=0^infty (-1)^n(-2 + 1)^nn+2 = sumn=0^infty (-1)^n(-1)^nn+2 = sumn=0^infty 1n+2 e sumn=0^infty (-1)^n(0 + 1)^nn+2 = sumn=0^infty (-1)^nn+2 .
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série harmônica deslocada, que é divergente.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada que satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada, então ela converges.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .