Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^raiz22 integraly^raiz1-y^2 x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região onde vamos integrar e calcular a integral iterada . A matéria envolvida é cálculo de integrais duplas, especificamente integração iterada, e vamos precisar entender como definir os limites de integração e, se necessário, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O varia de 0 até . Para cada valor de , o varia de até . Isso significa que, para cada camada horizontal , o começa na linha e vai até a curva .

Passo 3

Vamos esboçar essa região. A curva é parte do círculo de raio 1 centrado na origem, já que . A linha é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Então, estamos olhando para a parte do primeiro quadrante onde , entre a reta e o círculo.

Passo 4

Agora, vamos verificar se inverter a ordem de integração facilita o cálculo. No estado atual, temos integral0^raiz22 integral0^x x y , dy , dx de 0 a e de a . Se invertermos, precisamos definir primeiro. Observando a região, varia de 0 a e, para cada , vai de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral iterada na ordem invertida. Primeiro integremos em relação a integral0^x x y , dy = x integral0^x y , dy = x [ y^22 ]0^x = x ( x^22 - 0 ) = x^32 :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^raiz22 x^32 , dx = 12 integral0^raiz22 x^3 , dx = 12 [ x^44 ]0^raiz22 = 18 ( (raiz22)^4 - 0 ) :

Passo 7

Calculando (raiz22)^4 = (2^1/22)^4 = 2^22^4 = 416 = 14 :

Resposta

Então, a integral vale:
18 times 14 = 132

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integral-2^1 integralx^2+4 x^3 x+2 d y d x