Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente esboçar a região onde vamos integrar e calcular a integral iterada
. A matéria envolvida é cálculo de integrais duplas, especificamente integração iterada, e vamos precisar entender como definir os limites de integração e, se necessário, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O
varia de 0 até
. Para cada valor de
, o
varia de
até
. Isso significa que, para cada camada horizontal
, o
começa na linha
e vai até a curva
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região. A curva
é parte do círculo de raio 1 centrado na origem, já que
. A linha
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Então, estamos olhando para a parte do primeiro quadrante onde
, entre a reta e o círculo.
Passo 4
Agora, vamos verificar se inverter a ordem de integração facilita o cálculo. No estado atual, temos
de 0 a
e
de
a
. Se invertermos, precisamos definir
primeiro. Observando a região,
varia de 0 a
e, para cada
,
vai de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral iterada na ordem invertida. Primeiro integremos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Passo 7
Calculando
:
Resposta
Então, a integral vale:
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Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.