Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo: f(x, y) = x^2 - y^2 - 2x + y + 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e verificar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Isso significa que vamos calcular e e igualar cada uma a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, igualamos a zero:

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Igualando a zero:

Passo 5

Então, o ponto crítico é . Agora precisamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o determinante da matriz Hessiana.

Passo 6

A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 7

Calculando as segundas derivadas:

Passo 8

Agora, montamos a matriz Hessiana:
O determinante de é:

Passo 9

Interpretando o resultado:
  • Se e , é mínimo local.
  • Se e , é máximo local.
  • Se , é ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo local.

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