Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e verificar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Isso significa que vamos calcular
e
e igualar cada uma a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, igualamos
a zero:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Igualando
a zero:
Passo 5
Então, o ponto crítico é
. Agora precisamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo local. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o determinante da matriz Hessiana.
Passo 6
A matriz Hessiana
é composta pelas segundas derivadas parciais:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 7
Calculando as segundas derivadas:
Passo 8
Agora, montamos a matriz Hessiana:
O determinante de
é:
Passo 9
Interpretando o resultado:
- Se
e , é mínimo local. - Se
e , é máximo local. - Se
, é ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo local.
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