Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^1 integral1^1 / y ln x d x d y+integral0^1 integral1^2 ln x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular uma integral dupla que é a soma de duas integrais iteradas:
integral0^1 integral1^1y ln x , dx , dy + integral0^1 integral1^2 ln x , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas que envolvem o logaritmo natural ( ). Para resolver isso, vamos calcular cada integral separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira integral iterada:
I1 = integral0^1 integral1^1y ln x , dx , dy
Primeiro, vamos integrar em relação a integral ln x , dx = x ln x - x + C . A integral de integral1^1y ln x , dx = [ x ln x - x ]1^1y = ( 1y ln(1y) - 1y ) - (1 cdot ln 1 - 1) em relação a = 1y ln(1y) - 1y + 1 é:
= -ln yy - 1y + 1
Aplicando os limites de integração de a :
Sabemos que , então simplificando:
Como , fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a I1 = integral0^1 ( -ln yy - 1y + 1 ) dy :
I1 = -integral0^1 ln yy , dy - integral0^1 1y , dy + integral0^1 1 , dy
Vamos separar as integrais:
I1 = -[ (ln y)^22 ]0^1 - [ ln y ]0^1 + [ y ]0^1
A primeira integral, (ln 1)^22 - limy to 0^+ (ln y)^22 = 0 - infty = -infty , é conhecida e sua antiderivada é ln 1 - limy to 0^+ ln y = 0 - (-infty) = infty . A segunda integral é 1 - 0 = 1 e a terceira integral é I1 = -(-infty) - infty + 1 = infty - infty + 1 .
Aplicando as antiderivadas:
Agora, avaliando os limites:
  • Para de a :
  • Para de a :
  • Para de a :
Portanto, temos:
Isso é uma forma indefinida ( ), o que nos indica que talvez precisamos reconsiderar a ordem da integração ou verificar se a integral realmente converge.

Passo 4

Vamos tentar trocar a ordem de integração na primeira integral para simplificar. Originalmente, temos:
I1 = integral0^1 integral1^1y ln x , dx , dy
Trocar a ordem de integração significa que vamos integrar primeiro em I1 = integral1^infty integral0^1x ln x , dy , dx e depois em I1 = integral1^infty ln x ( integral0^1x dy ) dx = integral1^infty ln x cdot 1x , dx = integral1^infty ln xx , dx . Para isso, precisamos identificar os novos limites de integração.
Para I1 = [ (ln x)^22 ]1^infty :
  • (ln infty)^22 - (ln 1)^22 = infty - 0 = infty varia de a
  • Para cada , varia de a
Ao trocar a ordem:
  • varia de a (já que quando , )
  • Para cada , varia de a
Então, a integral fica:
Como não depende de , podemos simplificar:
A integral tem como antiderivada , então:
Avaliando os limites:
Isso mostra que a primeira integral diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Passo 5

Como a primeira integral resultou em infinito ( ), mesmo somando a segunda integral , o resultado final da expressão dada também será infinito. Isso significa que a integral dupla original não converge para um número real finito.

Resposta

A integral dupla fornecida não converge, ou seja, seu valor é infinito ( ).

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