Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e calcular uma integral dupla que é a soma de duas integrais iteradas:
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas que envolvem o logaritmo natural (
). Para resolver isso, vamos calcular cada integral separadamente e depois somar os resultados.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a primeira integral iterada:
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Sabemos que
, então simplificando:
Como
, fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Vamos separar as integrais:
A primeira integral,
, é conhecida e sua antiderivada é
. A segunda integral é
e a terceira integral é
.
Aplicando as antiderivadas:
Agora, avaliando os limites:
- Para
de a : - Para
de a : - Para
de a :
Portanto, temos:
Isso é uma forma indefinida (
), o que nos indica que talvez precisamos reconsiderar a ordem da integração ou verificar se a integral realmente converge.
Passo 4
Vamos tentar trocar a ordem de integração na primeira integral para simplificar. Originalmente, temos:
Trocar a ordem de integração significa que vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos identificar os novos limites de integração.
Para
:
-
varia de a - Para cada
, varia de a
Ao trocar a ordem:
-
varia de a (já que quando , ) - Para cada
, varia de a
Então, a integral fica:
Como
não depende de
, podemos simplificar:
A integral
tem como antiderivada
, então:
Avaliando os limites:
Isso mostra que a primeira integral
diverge, ou seja, não tem um valor finito.
Passo 5
Como a primeira integral
resultou em infinito (
), mesmo somando a segunda integral
, o resultado final da expressão dada também será infinito. Isso significa que a integral dupla original não converge para um número real finito.
Resposta
A integral dupla fornecida não converge, ou seja, seu valor é infinito (
).
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo:
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.