Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais duplas. A gente precisa esboçar a região de integração e calcular a integral iterada dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como as variáveis estão limitando a região e, se necessário, trocar a ordem de integração para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é em relação a
de -2 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos desenhar essas duas curvas para visualizar a região:
- A curva
é uma parábola que abre para cima. - A curva
é uma reta.
Passo 4
Para encontrar onde elas se cruzam, igualamos as duas equações:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
e
. Isso confirma que os limites de
na integral são de -2 a 1.
Passo 5
Agora, vamos ver se trocar a ordem de integração facilita. Vamos reescrever a região com
variando primeiro.
Para isso, precisamos encontrar os limites de
. Observando as interseções,
varia de mínimo em
até máximo em
, com
de -2 a 1.
Passo 6
Para trocar a ordem, resolvemos
em termos de
. A partir de
:
E de
:
Passo 7
Determinar os novos limites de
. Nos pontos de interseção, quando
e
:
- Para
, - Para
,
Então,
varia de -4 a 5.
Passo 8
Agora, para cada
,
varia da parábola para a reta:
Passo 9
Reescrevemos a integral com a ordem invertida:
Passo 10
Vamos calcular a integral iterada original:
A integral interna em
é:
Então, a integral fica:
Passo 11
Calculando a integral:
Avaliada de -2 a 1:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral iterada é
.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Usando integração, mostre que a área de um círculo de raio
é
. Mostre cada passo detalhadamente.