Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral-2^1 integralx^2+4 x^3 x+2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais duplas. A gente precisa esboçar a região de integração e calcular a integral iterada dada por:
integral-2^1 integralx^2+4x^3x+2 dy, dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como as variáveis estão limitando a região e, se necessário, trocar a ordem de integração para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa é em relação a de -2 a 1. Para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos desenhar essas duas curvas para visualizar a região:
  • A curva é uma parábola que abre para cima.
  • A curva é uma reta.

Passo 4

Para encontrar onde elas se cruzam, igualamos as duas equações:
x^2 + 4x = 3x + 2 x^2 + x - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, e . Isso confirma que os limites de na integral são de -2 a 1.

Passo 5

Agora, vamos ver se trocar a ordem de integração facilita. Vamos reescrever a região com variando primeiro.
Para isso, precisamos encontrar os limites de . Observando as interseções, varia de mínimo em até máximo em , com de -2 a 1.

Passo 6

Para trocar a ordem, resolvemos x^2 + 4x - y = 0 x = -4 pm raiz16 + 4y2 = -2 pm raiz4 + y em termos de x = y - 23 . A partir de :
E de :

Passo 7

Determinar os novos limites de . Nos pontos de interseção, quando e :
  • Para ,
  • Para ,
Então, varia de -4 a 5.

Passo 8

Agora, para cada x de -2 - raiz4 + y até y - 23 , varia da parábola para a reta:
é

Passo 9

Reescrevemos a integral com a ordem invertida:
integral-4^5 integral-2 - raiz4 + y^y - 23 dx, dy

Passo 10

Vamos calcular a integral iterada original:
integral-2^1 integralx^2+4x^3x+2 dy, dx
A integral interna em integralx^2+4x^3x+2 dy = (3x + 2) - (x^2 + 4x) = -x^2 - x + 2 é:
integral-2^1 (-x^2 - x + 2) dx
Então, a integral fica:

Passo 11

Calculando a integral:
integral (-x^2 - x + 2) dx = -x^33 - x^22 + 2x
Avaliada de -2 a 1:
[-1^33 - 1^22 + 2(1)] - [-(-2)^33 - (-2)^22 + 2(-2)]
Simplificando:
[-13 - 12 + 2] - [83 - 2 - 4] = (76) - (83 -6)
= 76 - (-103) = 76 + 103 = 7 + 206 = 276 = 92

Resposta

O valor da integral iterada é .

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
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